Equazione di Rankine-Hugoniot
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L'Equazione di Rankine-Hugoniot governa il comportamento di un onda d'urto ortogonale al flusso in entrata. Essa prende nome dai fisici Macquorn Rankine e Pierre Henri Hugoniot (ingegnere francese, 1851-1887).
Si consideri un flusso regolare e monodimensionale, soggetto alle equazioni di Eulero e si imponga la conservazione di massa, momento ed energia. Sotto queste ipotesi, si perviene a tre equazioni, nelle quali si semplificano le due velocità u1 and u2.
Usualmente, si denotano le condizioni del flusso superiore con il pedice "1" e con il pedice "2" quelle del flusso inferiore. In questo contesto, ρ è la densità, u la velocità, p la pressione. Con e indichiamo l'energia interna per unità di massa.
Se a questo punto si considera un gas ideale, l'equazione di stato assume la forma p = ρ(γ − 1)e. Ricordiamo che γ è il rapporto fra i calori specifici a pressione costante e a volume costante.
Le seguenti equazioni indicano rispettivamente la conservazione della massa, del momento e dell'energia, ipotizzate in precedenza:
Si notino le tre componenti dell'energia: il lavoro meccanico, l'energia potenziale (interna) e l'energia cinetica.
Risolvendo le prime due equazioni rispetto ad u1 e u2 per eliminare le due velocità e sostituendo nell'ultima, si arriva alla seguente equazione:
,
dove 
.
Poiché le pressioni sono entrambe positive, il rapporto delle densità non è mai maggiore di (γ + 1) / (γ − 1), oppure di 6 nel caso dell'aria (per la quale γ vale circa 1.4).
Al crescere della forza dell'onda d'urto, il gas sdel flusso inferiore diviene sempre più caldo, il rapporto delle densità ρ2 / ρ1 tende ad un limite finito, pari a 4 per un gas monoatomico (γ = 5/3), e a 6 per un gas biatomico (
).
