Equazione di d'Alembert

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce di matematica è solo un abbozzo: contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia.

L'equazione di d'Alembert è un'equazione differenziale del primo ordine, che prende il nome dal matematico Jean d'Alembert. A volte è nota col nome di equazione differenziale di Lagrange.

Assume la forma

y = x f (y') + g (y')

dove f e g sono funzioni reali derivabili note.

[modifica] Metodo risolutivo

Si pone y' = z, e si riscrive

y = x f (z) + g (z)

Derivando rispetto a x, otteniamo

$1)\,\,\, z - f(z) = \frac { dz } { dx } [xf'(z) +g'(z)]$

Ora, se il primo termine, uguagliato a zero, ha delle radici $z_1,\cdots, z_n$ , la z' è nulla per quei valori. Si hanno quindi delle soluzioni particolari

$y = z_k x + f(z_k)\,per\,k \in \{ 1, \cdots,n\}$

Laddove f(z) è diversa da z, possiamo riscrivere la 1 come

$2)\,\,\,\frac { dx } { dz } = x \frac {f'(z)}{z - f(z) } + \frac {g'(z)}{z - f(z) }$

che è un'equazione differenziale lineare del primo ordine in x, la cui soluzione può essere ricercata con i metodi normali. Sia x=h(z,C) tale soluzione, allora la soluzione parametrica dell'equazione di d'Alembert è

$3) \,\,\, \left \{ \begin{matrix} & {x=h(z,C)} \\ & {y=f(z)h(z,C) + g(z)} \\ \end{matrix} \right .$

[modifica] Esempio

Sia dato

$y =x y'^2 + \frac 3 2 y'^2 -y'^3$

Troviamo le soluzioni di z-f(z):

$z - z^2 = 0 \Rarr z \in \{ 0,1 \}$

quindi le soluzioni particolari sono

$\left \{ \begin{matrix} & { y = 0 } \\ & { y = x + \frac {1} {2} } \\ \end{matrix} \right .$

Applicando ora la 2 otteniamo

$\frac { dx } { dz } = \frac {2x}{1 - z} + 3 \frac {z - z^2}{z - z^2 }$

la cui soluzione è

$x = z-1 + \frac {1+c }{(z-1)^2}$

Sostituendo nella 3 otteniamo

$\left \{ \begin{matrix} & {x = z-1 + \frac {1+c }{(z-1)^2}} \\ & {y = z^2 \left (z-1 + \frac {1+c }{(z-1)^2} \right ) + \frac 3 2 z^2 -z^3} \\ \end{matrix} \right .$

È possibile eliminare la z risolvendo una delle due equazioni sopra, e sostituendo. Ad esempio, la prima ha come soluzione reale

$z = {}^3 \sqrt { \frac { \sqrt{ (c+1)(27+27c-4x^3) }} {6 \sqrt 3} + \frac {2x^3-27c-27}{54} } + \frac {x^2} {9 {}^3 \sqrt { \frac {\sqrt{ (c+1)(27+27c-4x^3)} } {6 \sqrt 3} + \frac {2x^3-27c-27}{54}} } +\frac 1 3 (x+3)$