Fascio di piani

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Un fascio di piani è un insieme formato da infiniti piani, aventi una retta in comune (fascio proprio) oppure paralleli fra di loro (fascio improprio).

Indice

1 Equazione del fascio di piani
2 Combinazione lineare di piani
3 In geometria descrittiva
4 Voci correlate
5 Collegamenti esterni

[modifica] Equazione del fascio di piani

Un fascio di piani ha equazione analoga a quella di un piano, in cui i coefficienti sono però determinati a meno di un parametro libero $k$ di primo grado; ad ogni valore del parametro corrisponde un piano del fascio:

$a(k) x + b(k) y + c(k) z + d(k) = 0 \,\!$ .

Nel caso di un fascio proprio, è sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale del parametro $k$ in modo da separare l'equazione del piano come segue:

$a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 + k (a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2) = 0 \,\!$ ;

i due piani:

$\begin{matrix} \Pi_1: & a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 \\ \Pi_2: & a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \end{matrix}$

sono detti generatori del fascio e individuano la retta appartenente a tutti i piani del fascio. $Π 1$ si ottiene per $k = 0$ , mentre $Π 2$ , pur appartenendo al fascio, non è ricavabile per alcun valore reale attribuibile al parametro, ma è soltanto approssimabile tramite i piani ottenuti per valori molto grandi.

Un fascio improprio è formato da piani paralleli fra di loro, con in comune la stessa normale, pertanto il parametro $k$ compare soltanto nel termine noto. In questo caso è possibile prendere come generatori due piani qualunque appartenenti al fascio.

[modifica] Combinazione lineare di piani

La definizione più generale di fascio di piani utilizza un parametro reale proiettivo: dati i due piani $Π 1$ e $Π 2$ di equazioni:

$\begin{matrix} \Pi_1: & a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 \\ \Pi_2: & a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 \end{matrix}$ ,

il fascio di piani da essi generato è definito dalla combinazione lineare delle due equazioni:

λ(a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1) + μ(a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2) = 0

dove $λ$ e $μ$ sono due parametri reali non entrambi nulli. Se i due piani generatori sono paralleli, si ottiene un fascio improprio, altrimenti si ottiene un fascio proprio i cui piani hanno in comune la retta individuata dai due generatori.

A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani del fascio. Posto $\mu \neq 0$ , ogni coppia $(λ,μ)$ con lo stesso rapporto $\frac{\lambda}{\mu}$ individua lo stesso fascio e può essere identificata dal singolo parametro $k = \frac{\lambda}{\mu} \in \mathbb{R}$ . La coppia di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo $[ \lambda, \mu ] \in \mathbb{P}$ .

[modifica] In geometria descrittiva

quando un insieme di piani ha in comune una retta reale (cioè retta passante per un punto proprio) prende il nome di fascio di piani proprio, altrimenti: fascio di piani improprio, quando tale insieme ha in comune una retta immaginaria ( cioè retta che ha tutti i propri punti impropri).

[modifica] Esempio di un fascio di piani proprio

data una retta r individuata da due punti propri A B, e scelto un punto C esterno rispetto a tale retta r. Noto che una retta r ed un punto C individuano un piano alpha, per cui l'infiniti piani che si ottengono facendo ruotare alpha intorno ad r, formano un fascio proprio di piani.

[modifica] Esempio di un fascio di piani improprio

data una retta r individuata da due punti impropri A B. Facendo passare per un qualsiasi punto proprio C, due rette m n, si ha una piano alpha che ha giacitura individuata dalla retta impropria r. In questo modo un insieme di piani paralleli ad alpha, cioè che ha la stessa giacitura di alpha, forma un fascio di piani improprio.

[modifica] Sezione piana di un fascio di piani

sezionando un fascio di piani X con un stesso piano, non fascente parte di X, si ha:

quando X è proprio, si individua un fascio di rette che hanno in comune un punto proprio, detto fascio di rette proprio, ossia un insieme di rette complanari e convergenti in un stesso punto proprio.
quando X è improprio, si individua un fascio di rette improprio, ossia un inseieme di rette che hanno in comune un punto improprio, cioè parallele tra loro.