Formule di prostaferesi

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In trigonometria, le formule di prostaferesi permettono di trasformare somma e differenze di funzioni trigonometriche di due angoli in un prodotto di funzioni trigonometriche.

La parola prostaferesi deriva dalla giustapposizione di due parole di origine greca, prosthesis (πρόσθεσις) e aphaeresis (ὰφαίρεσις), che significano rispettivamente somma e sottrazione.

Le formule di prostaferesi furono definite, nella forma attualmente nota, da Johann Werner agli inizi del XVI secolo, tuttavia é probabile che fossero già, almeno parzialmente, note in precedenza.

Questa categoria di formule trigonometriche viene utilizzata poiché, in genere, conduce ad una semplificazione dell'espressione trigonometrica studiata.

Le formule inverse delle formule di prostaferesi si chiamano formule di Werner.

Indice

1 Prima formula di prostaferesi
2 Seconda formula di prostaferesi
3 Terza formula di prostaferesi
4 Quarta formula di prostaferesi
5 Formule di prostaferesi per la tangente
6 Formule di prostaferesi per la cotangente

[modifica] Prima formula di prostaferesi

DIMOSTRAZIONE

La formula di partenza può essere riscritta come: $\sin \left(\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2}\right)+\sin \left(\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2}\right)$

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno, si ottiene: $\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} + \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}$

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene: $\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene: $2\sin \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}$

QED

[modifica] Seconda formula di prostaferesi

DIMOSTRAZIONE

La formula di partenza può essere riscritta come: $\sin (\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2})-\sin (\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2})$

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il seno, si ottiene: $\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} - \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}$

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene: $\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + \cos \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene: $2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\sin \frac {\alpha-\beta}{2}$

QED

[modifica] Terza formula di prostaferesi

DIMOSTRAZIONE

La formula di partenza può essere riscritta come: $\cos (\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2})+\cos (\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2})$

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno, si ottiene: $\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} - \sin \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}$

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene: $\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}+\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} + \sin \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene: $2\cos \frac {\alpha+\beta}{2}\cos \frac {\alpha-\beta}{2}$

QED

[modifica] Quarta formula di prostaferesi

DIMOSTRAZIONE

La formula di partenza può essere riscritta come: $\cos (\frac {\alpha+\beta}{2}+\frac {\alpha-\beta}{2})-\cos (\frac {\beta+\alpha}{2}+\frac{\beta-\alpha}{2})$

Da cui, utilizzando la formula di addizione per il coseno, si ottiene: $\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\beta-\alpha}{2} + \sin \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\beta-\alpha}{2}$

Da cui, utilizzando le relazioni che legano le funzioni trigonometriche di angoli opposti, si ottiene: $\cos \frac {\alpha+\beta}{2} \cos \frac {\alpha-\beta}{2}-\sin \frac {\alpha+\beta}{2} \sin \frac {\alpha-\beta}{2}-\cos \frac {\beta+\alpha}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} - \sin \frac {\beta+\alpha}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

Da cui, semplificando e raccogliendo, si ottiene: $-2\sin \frac {\alpha+\beta}{2}\sin \frac {\alpha-\beta}{2}$

QED

[modifica] Formule di prostaferesi per la tangente

con

DIMOSTRAZIONE

La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di tangente, come: $\frac {\sin\alpha} {\cos\alpha} \pm \frac {\sin\beta} {\cos\beta}$

Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i coseni non siano nulli: $\frac {\sin\alpha\cos\beta} {\cos\alpha\cos\beta} \pm \frac {\sin\beta\cos\alpha} {\cos\beta\cos\alpha}$

Da cui, raccogliendo il denominatore: $\frac {\sin\alpha\cos\beta \pm \sin\beta\cos\alpha} {\cos\alpha\cos\beta}$

Da cui, giacché il numeratore e' il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno, si ottiene per sostituzione: $\frac {\sin(\alpha\pm\beta)} {\cos\alpha \cos\beta}$

QED

[modifica] Formule di prostaferesi per la cotangente

con

DIMOSTRAZIONE

La formula di partenza può essere riscritta, in virtù della definizione di cotangente, come: $\frac {\cos\alpha} {\sin\alpha} \pm \frac {\cos\beta} {\sin\beta}$

Da cui, giacché la condizione sugli angoli garantisce che i seni non siano nulli: $\frac {\cos\alpha\sin\beta} {\sin\alpha\sin\beta} \pm \frac {\cos\beta\sin\alpha} {\sin\beta\sin\alpha}$

Da cui, raccogliendo il denominatore: $\frac {\cos\alpha\sin\beta \pm \cos\beta\sin\alpha} {\sin\alpha\sin\beta}$

Da cui, giacché il numeratore e' il risultato delle formule di addizione e sottrazione per il seno, si ottiene per sostituzione: $\frac {\sin(\beta\pm\alpha)} {\sin\alpha \sin\beta}$