Funzione omogenea
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In matematica si dicono funzioni omogenee di grado k delle particolare funzioni tali che quando si moltiplica per un certo numero 
ogni loro variabile, il valore della funzione viene moltiplicato per 
. Per esempio, se una funzione è omogenea di grado 1 allora, quando tutti i suoi membri sono moltiplicati per un certo numero , il valore della funzione è moltiplicato per lo stesso numero t.
[modifica] Definizione rigorosa di funzione omogenea
Se 
con 
, si dice funzione omogenea di grado k una funzione 
tale che
Se tutte le variabili sono nulle si ha necessariamente
[modifica] Derivata di una funzione omogenea
Sia una funzione omogenea di grado k, allora vale la seguente proposizione:
- Ogni derivata parziale
con 
è una funzione omogenea di grado (k - 1)
Dimostrazione:
Derivando rispetto alle 
entrambi i membri dell'identità seguente
si ottiene
Dividendo entrambi i membri per α si ottiene l'asserto
[modifica] Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee
Il teorema afferma che
Dimostrazione: Applichiamo prima la sostituzione 
ottenendo
Differenziando ora rispetto ad α
Utilizziamo ora le derivate delle 
ottenendo
vera per ogni
In particolare ponendo 
si ottiene
