Integrale ellittico

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In matematica e particolarmente nel calcolo integrale, gli integrali ellittici sono emersi originariamente in connessione con il problema del calcolo della lunghezza degli archi di una ellisse; i primi a studiarli sono stati Giulio Fagnano ed Eulero.

Secondo la definizione moderna, un integrale ellittico è una qualsiasi funzione f che può esprimersi nella forma

$f(x) = \int_{c}^{x} R(t,P(t))\ dt$

dove R denota una funzione razionale dei suoi due argomenti, P è la radice quadrata di un polinomio di grado pari a 3 o 4 (di una cubica o di una quartica) privo di radici multiple, e c è una costante.

In generale, gli integrali ellittici non possono essere espressi in termini di funzioni elementari; si hanno eccezioni a questo fatto quando P ha radici ripetute, o quando R(x,y) non contiene potenze dispari di y. Comunque, con appropriate riduzioni delle formule, ogni integrale ellittico può essere riportato a una forma che coinvolge integrali di funzioni razionali, e le tre forme canoniche : integrali ellittici di prima, seconda e terza specie.

Oltre alle forme sopra definite, gli integrali ellittici possono essere espressi nella forma di Legendre e nella forma simmetrica di Carlson. Ulteriori informazioni nella teoria degli integrali incompleti possono essere ricavate tramite l'utilizzo della trasformazione di Schwarz-Christoffel.

Indice

1 Notazione
2 Integrale ellittico incompleto di prima specie
3 Integrale ellittico incompleto di seconda specie
4 Integrale ellittico incompleto di terza specie
5 Integrale ellittico completo di prima specie
6 Integrale ellittico completo di seconda specie
7 Cenno storico
8 Voci correlate
9 Bibliografia

[modifica] Notazione

Gli integrali ellttici sono spesso espressi come funzioni di argomenti variamente definiti. Queste rappresentazioni sono completamente equivalenti (danno lo stesso integrale ellittico), ma possono confondere a causa del loro differente aspetto. La maggior parte dei testi utilizza uno schema canonico di nomi. Prima di definire gli integrali ellttici, diamo un'occhiata alle convenzioni sui nomi degli argomenti:

k è il modulo ellittico
m=k² è il parametro
$α$ è l' angolo modulare, $k = sinα$

Si può notare ovviamente che se si assegna una qualsiasi di queste relazioni, le altre ne sono completamente determinate.

Gli integrali ellittici dipenderanno anche da un altro argomento; anche questo è definito in un numero di modi:

$φ$ ossia l' ampiezza
x dove $x=\sin \phi= \textrm{sn} \; u$
u, dove x=sn u e sn è una delle funzioni ellittiche Jacobiane.

Ancora una volta, specificatene una, le altre ne discendono immediatamente ed è quindi chiaro che si può scegliere quella più comoda. Si noti che u dipende anche da m. Alcune relazioni addizionali che coinvolgono u includono

$\cos \phi = \textrm{cn}\; u$

$\sqrt{1-m\sin^2 \phi} = \textrm{dn}\; u$ .

Questa ultima è qualche volta nota come delta amplitudine ed è scritta come $\Delta(\phi)=\textrm{dn}\; u$ . A volte ci si riferisce in letteratura come parametro complementare, modulo complementare o angolo modulare complementare.

[modifica] Integrale ellittico incompleto di prima specie

L' Integrale ellittico incompleto di prima specie F e' definito, nella forma di Jacobi, come:

$F(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{1}{ \sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} }\ dt \,\!$

Equivalentemente, usando una notazione alternativa,

$F(x;k) = F(\phi|m) = F(\phi\setminus \alpha ) = \int_0^\phi \frac{1}{ \sqrt{1-\sin^2 \alpha \sin^2 \theta}} \ d\theta \,\!$

dove si comprende che quando si usa la barra verticale, l'argomento che segue la barra verticale e' il parametro (come definito sopra), e, quando si usa la barra obliqua a backslash, l'argomento e' il modulo angolare. Si noti che:

F (x; k) = u

con u definito come sopra: le funzioni ellittiche di Jacobi sono le inverse degli integrali ellittici.

[modifica] Integrale ellittico incompleto di seconda specie

L' integrale ellittico incompleto di seconda specie E è

$E(x;k) = \int_{0}^{x} \frac{ \sqrt{1-k^2 t^2} }{ \sqrt{1-t^2} }\ dt$

In maniera equivalente, usando la notazione alternativa:

$E(x;k) = E(\phi|m) = E(\phi\setminus \alpha ) = \int_0^\phi \sqrt{1-\sin^2 \alpha \sin^2 \theta} \ d\theta$

Ulteriori relazioni includono:

$E(\phi|m) = \int_0^u \textrm{dn}^2 w \;dw = u-m\int_0^u \textrm{sn}^2 w \;dw = (1-m)u+m\int_0^u \textrm{cn}^2 w \;dw$

[modifica] Integrale ellittico incompleto di terza specie

L' integrale ellittico incompeto di terza specie $Π$ è

$\Pi(n; \phi|m) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-nt^2} \frac{1} {\sqrt{(1-k^2 t^2)(1-t^2) }}\ dt$

oppure

$\Pi(n; \phi|m) = \int_0^\phi \frac{1}{1-n\sin^2 \theta} \frac {1}{\sqrt{ (1-\sin^2 \alpha \sin^2 \theta) }} \ d\theta$

oppure

$\Pi(n; \phi|m) = \int_0^u \frac{1}{1-n \textrm{sn}^2 (w|m)} \; dw$

Il numero n si chiama caratteristica e può assuemere qualsiasi valore, independentemete dagli altri argomenti. Si noti che il valore $Π(1;π / 2 | m)$ è infinito per qualsiasi valore di $m$ .

[modifica] Integrale ellittico completo di prima specie

L' integrale ellittico completo di prima specie K è definito come segue:

$K(k) = \int_{0}^{1} \frac{1}{ \sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)} }\ dt$

e può essere calcolato in termini dei media aritmetica-geometrica.

Puo anche essere calcolato con la seguente espansione in serie di Taylor:

$K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} k^{2n} \frac{(2n)!(2n)!}{16^n n!n!n!n!}$

oppure in forma di integrale del seno, quando 0 ≤ k ≤ 1

$K( k ) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt {1 - k^2 \sin ^2 \theta }}$

L'integrale ellittico completo di prima specie è chiamato qualche volta in letteratura anglofona quarter period.

[modifica] Integrale ellittico completo di seconda specie

L' integrale ellittico completo di seconda specie E è definito come:

$E(k) = \int_{0}^{1} \frac{ \sqrt{1-k^2 t^2} }{ \sqrt{1-t^2} }\ dt$

Oppure se 0 ≤ k ≤ 1:

$E( k ) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt {1 - k^2 \sin ^2 \theta}\ d\theta$

[modifica] Cenno storico

Storicamente le funzioni le funzioni ellittiche sono state scoperte come funzioni inverse degli integrali ellittici e in particolare la F tale che si abbia F(sn(z;k);k) = z, dove sn denota una delle funzioni ellittiche di Jacobi.

[modifica] Voci correlate

Forma di Legendre
Forma simmetrica di Carlson
Mappa di Schwarz-Christoffel

[modifica] Bibliografia

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4 . (See chapter 17).

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Categorie: Funzioni speciali | Funzioni ipergeometriche speciali