Inversione circolare

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L’inversione circolare è un’applicazione biunivoca e continua del piano privato di un punto in sé. Il punto escluso dalla trasformazione si dice centro della inversione circolare.

Può essere utile esaminare questo tipo di trasformazione geometrica del piano sia nel piano reale che in quello complesso.

Indice

1 Inversione circolare nel piano reale
2 Inversione circolare nel piano complesso
3 Estensione
4 Voci correlate

[modifica] Inversione circolare nel piano reale

[modifica] Definizione

Consideriamo la circonferenza $Γ$ di centro $O$ e raggio $r$ ; si definisce inversione circolare di centro $O$ e di potenza $k = r 2$ , o equivalentemente inversione circolare relativa a $Γ$ , la trasformazione che denotiamo $I O, k$ , la quale associa ad ogni punto $P$ del piano il punto $P'$ appartenente alla semiretta uscente da $O$ e passante per $P$ tale che

$OP \cdot OP' = r^2$

Il numero $k$ viene detto potenza dell’inversione circolare. Relativamente alla $I O, k$ , $Γ$ si dice circonferenza di inversione, il relativo cerchio è detto cerchio di inversione, $r$ si dice raggio di inversione, mentre O è il centro di inversione. Il punto $P'$ corrispondente di $P$ si dice punto inverso di $P$ .

La inversione circolare si dice anche trasformazione per raggi vettori reciproci del piano.

[modifica] Costruzione

Si esamina la posizione del punto $P'$ in funzione della posizione del punto $P$ rispetto a $γ$ . Si procede per costruzione geometrica.

Caso 1: il punto $P$ è esterno a $γ$ .

Si tracci la circonferenza $γ 1$ di diametro $O P$ . Sia $M$ uno dei suoi due punti di intersezione con $γ$ e sia $P'$ la proiezione ortogonale di $M$ su $O P$ . Si consideri il triangolo rettangolo di vertici $O$ , $M$ , $P$ . Per il primo teorema di Euclide:

$OP \cdot OP' = OM^2 = r^2$

Il punto $P'$ è, quindi, il trasformato di $P$ mediante l’inversione di centro $O$ e di potenza $r 2$ .

Caso 2: il punto $P$ è interno a $γ$ .

Si consideri la retta passante per $O$ e per $P$ . Si tracci la perpendicolare a tale retta passante per $P$ . Detti $M$ e $N$ i suoi punti di intersezione con $γ$ , ancora per il primo teorema di Euclide, $P'$ è il punto di intersezione delle tangenti a $γ$ condotte per $M$ e per $N$ .

Osservando che ad ogni punto $P$ diverso da $O$ corrisponde uno ed un solo punto $P'$ e viceversa, e che l’inversione $I O, k$ manda un punto $P$ interno a $γ$ in un punto $P'$ ad essa esterno e viceversa, si conclude che la trasformazione inversa dell’inversione $I O, k$ è sé stessa, cioè

$I_{O,k}^{-1} = I_{O,k}$

Caso 3: Se il punto $P$ appartiene a $γ$ .

In questo caso $P'$ coincide con $P$ .

Introducendo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $x O y$ la cui origine coincida con il centro dell’inversione, dalla costruzione precedente segue che se l’inversione $I O, k$ trasforma il punto $P (x; y)$ nel punto $P'(x'; y')$ , le equazioni della trasformazione sono:

$I_{O,k}:\left \{ \begin{matrix} x'=\frac{kx}{x^2 + y^2} \\y'=\frac{ky}{x^2 + y^2} \end{matrix} \right.$

La trasformazione inversa ha equazioni:

$I_{O,k}^{-1}: \left \{ \begin{matrix} x=\frac{kx'}{x'^2 + y'^2}\\y=\frac{ky'}{x'^2 + y'^2} \end{matrix} \right.$

[modifica] Proprietà

Due punti qualunque e i loro inversi appartengono ad una stessa circonferenza, oppure sono allineati con il centro d’inversione.

Il prodotto di due inversioni aventi lo stesso centro $O$ e potenze diverse è un’omotetia di centro $O$ .

Due figure inverse di una stessa figura, rispetto allo stesso centro $O$ , si corrispondono in un’omotetia avente centro $O$ .

Ogni retta passante per il centro $O$ d’inversione viene trasformata in sé stessa.

Ogni retta che non passa per il centro $O$ d’inversione viene trasformata in una circonferenza passante per $O$ .

Ad ogni circonferenza passante per $O$ corrisponde una retta non passante per $O$ .

Ad ogni circonferenza $Γ$ non passante per $O$ corrisponde una circonferenza $Γ'$ non passante per $O$ .

Le circonferenze ortogonali alla circonferenza di inversione sono insiemi invarianti (o figure unite) per l'inversione, cioè vengono trasformati in se stessi dall’inversione circolare.

[modifica] Esempio

Per trasformare mediante un’inversione circolare delle curve assegnate, bisogna utilizzare la trasformazione inversa. Si consideri la seguente inversione:

$I_{O,4}: \left \{ \begin{matrix} x'=\frac{4x}{x^2 + y^2}\\y'=\frac{4y}{x^2 + y^2} \end{matrix} \right.$

agente sulle seguenti curve:

$\, r:y=-2x \,$ ;

$\gamma:~ x^2+y^2=1$ .

La trasformazione inversa è:

$I_{O,4}^{-1}: \left \{ \begin{matrix} x=\frac{4x'}{x'^2 + y'^2}\\y=\frac{4y'}{x'^2 + y'^2} \end{matrix} \right.$

Ora è semplice trasformare le curve proposte. Per la prima, una retta, si ha

$r': \frac{4y'}{x'^2+y'^2} = -2 \frac{4x'}{x'^2+y'^2}$

da cui si ottiene facilmente $r': y' = - 2 x'$ . La retta trasformata coincide quindi con quella di partenza.

Per la seconda curva, una circonferenza, si ha

$\gamma': \left ( \frac{4x'}{x'^2 + y'^2} \right )^2 + \left ( \frac{4y'}{x'^2 + y'^2} \right )^2 = 1$

da cui si ottiene $γ': x' 2 + y' 2 = 16$ .

[modifica] Inversione circolare nel piano complesso

[modifica] Definizione

Sia $z$ un numero complesso non nullo e $k$ un numero reale positivo (non nullo). L’inversione di centro $O$ e potenza $k$ ha la seguente scrittura complessa:

$\begin{matrix}I_{O,k}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&= \frac{k}{\overline{z}}= \frac{k}{ \left | z \right |^2 }z \end{matrix}$

$z= \rho \left ( \cos{\theta}+i \sin{\theta} \right ) = \rho e^{i \theta}$

allora

$z'= \frac{k}{\rho} \left ( \cos{\theta}+i \sin{\theta} \right ) = \frac{k}{\rho} e^{i \theta}$

[modifica] Proprietà

Dalla definizione scende subito che se $P'$ è punto inverso di $P$ , anche $P$ risulta l’inverso di $P'$ ; in particolare se $P$ si trova sulla circonferenza di inversione viene trasformato in sé stesso. Dunque la relazione fra un punto del piano privato di $O$ e il suo inverso è una involuzione e $P$ e $P'$ o costituiscono una coppia di punti duali o coincidono. I punti della circonferenza di inversione sono i punti fissi dell'involuzione. Si vede anche che l’inversione circolare trasforma l’interno del cerchio nell’esterno e viceversa.

Si ritrova facilmente una delle proprietà dell’inversione del piano reale, ovvero, il prodotto di due inversioni aventi lo stesso centro $O$ e diverse potenze $k$ e $k'$ è un’omotetia nel piano complesso avente centro $O$ e rapporto $\frac{k'}{k}$ .

Se, infatti, si esegue la composizione delle seguenti inversioni

$\begin{matrix}I_{O,k}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&= \frac{k}{\overline{z}}= \frac{k}{ \left | z \right |^2 }z \end{matrix}$ $\begin{matrix}I_{O,k'}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&= \frac{k'}{\overline{z}}= \frac{k'}{ \left | z \right |^2 }z \end{matrix}$

si ottiene

$\begin{matrix} I_{O,k}\circ I_{O,k'}: &\mathbb{C}&\longrightarrow &\mathbb{C}&\\ &z &\longmapsto & z'&= \frac{k'}{k} \rho e^{i \theta}\end{matrix}$

[modifica] Esempio

Trovare i trasformati dei punti $A (1 + i)$ e $B ( - 2 - i)$ nell’inversione

$z \longmapsto \frac{4}{ \overline{z}}$

Si riscrivere la trasformazione come

$z \longmapsto \frac{4}{\left | z \right |^2}z$

Il numero complesso rappresentativo di $A$ è $z = 1 + i$ , da cui $| z | 2 = 1 + 1 = 2$ , quindi

$1+i \longmapsto \frac{4}{2} \left ( 1+i \right )$

cioè $z' = 2 + 2 i$ . Il trasformato di $A (1 + i)$ è $A'(2 + 2 i)$ . Analogamente il trasformato del punto $B ( - 2 - i)$ è

$B' \left (- \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i \right )$

[modifica] Estensione

È possibile adottare la convenzione di associare al punto $O$ l’insieme dei punti impropri del piano pensati come un unico punto all’infinito; in questo modo si ottiene una trasformazione biunivoca del piano munito del punto all'infinito.