Limite di una funzione/Dimostrazioni

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Nella pagina seguente vengono riportate tutte le dimostrazioni dei teoremi contenuti nell'articolo limite di una funzione, perciò per fare riferimento a eventuali applicazioni si prega di fare riferimento alla relativa pagina.

Indice

1 Teorema di unicità
- 1.1 Dimostrazione
2 Teorema della permanenza del segno
- 2.1 Dimostrazione
3 Teorema del confronto
- 3.1 Dimostrazione
4 Operazioni con i limiti
- 4.1 Dimostrazione

[modifica] Teorema di unicità

Teorema: Teorema di unicità

Sia

$\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \,\!$ e $\lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \!$

allora

$l_1 = l_2 \!$

[modifica] Dimostrazione

Dimostrazione: Teorema di unicità

La dimostrazione del teorema procede per assurdo, presi

$\lim_{x \to x_0} f(x) = l_1 \,\!$ e $\lim_{x \to x_0} f(x) = l_2 \!$

con $l_1 \ne l_2 \,\!$ , allora esistono due intorni $V_1 \,\!$ di $l_1 \,\!$ e $V_2 \,\!$ di $l_2 \,\!$ tali che siano disgiunti ( $V_1 \cap V_2 = \empty \,\!$ ). Per definizione devono esistere due intorni $U_1 \,\!$ e $U_2 \,\!$ di $x_0 \,\!$ per cui vale:

$f(x) \in V_1 \,\!$ se $x \in U_1 \,\!$

$f(x) \in V_2 \,\!$ se $x \in U_2 \,\!$

Dunque prendendo l'intorno di $x_0 \,\!$ costruito come $U_1 \cap U_2 \,\!$ , dovrebbe succedere, contemporaneamente, che $f(x) \in V_1 \,\!$ e $f(x) \in V_2 \,\!$ , il che è assurdo.

[modifica] Teorema della permanenza del segno

Teorema: Teorema della permanenza del segno

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.

Sia $f$ una funzione continua nel suo dominio, $f : X \subseteq \R \to \R\!$ e $x_0 , l \in \R^* \!$ con $x_0 \!$ di accumulazione per $X \!$ , allora

$\lim_{x \to x_0}f(x) = l >0\,(<0) \Rightarrow f(x)>0\,(<0) \mbox{ per } x \to x_0 \!$

[modifica] Dimostrazione

Dimostrazione: Teorema della permanenza del segno

Poniamo $l\in\R,\,l>0\!$ . Preso l'intorno $V = (l-\epsilon;l+\epsilon) \!$ con $0<\epsilon<l\!$ (Notare bene questa limitazione). Allora, per definizione di limite, esiste un intorno $U\!$ di $x_0\!$ , per il quale

$f(x)\in V\qquad\forall x \in U \cap X \backslash \left \{ x_0 \right \} \!$

cioè

$l+\epsilon>f(x)>l-\epsilon>0\!$

È possibile eseguire la stessa dimostrazione per $+\infty\!$ e $-\infty\!$ .

[modifica] Teorema del confronto

Teorema: Teorema del confronto

Siano

$f, g , h: X \subseteq \R \rightarrow \R \qquad f, g, h \in C^0(X;\R) \!$

e $x_0 \!$ un punto di accumulazione per $X \!$ .

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = l \!$

e se esiste un intorno $U \!$ di $x_0 \!$ tale che risulti

$f(x) \le g(x) \le h(x) \qquad \forall x \in U \cap X\backslash \left \{ x_0 \right \} \!$

allora

$\lim_{x \to x_0} g(x) = l \!$

[modifica] Dimostrazione

Dimostrazione: Teorema del confronto

Sia

$l \in \reals \!$

preso un intorno $V \!$ di $l \!$ , $(l-\epsilon, l+\epsilon) \!$ esistono intorni $U_1 \!$ e $U_2 \!$ di $x_0 \!$ .

Per definizione abbiamo

$x \ne x_0 \in U_1 \implies f(x) \in V \!$

$x \ne x_0 \in U_2 \implies h(x) \in V \!$

Allora, preso l'intorno $U = U_1 \cap U_2 \,\!$ di $x_0 \!$ , succede, per ipotesi, che:

$l-\epsilon \le f(x) \le g(x) \le h(x) \le l+\epsilon \!$

cioè

$x \in U \backslash \left \{ x_0 \right \} \implies g(x) \in V \!$

Del tutto analoga la dimostrazione per i casi $l = \pm \infty \!$ , ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che stiamo studiando.

[modifica] Operazioni con i limiti

Teorema: Operazioni con i limiti

Sia $f: X_f \subseteq \R \to \R,\,g: X_g \subseteq \R \to \R,\,X_f \cap X_g \ne \varnothing \!$ e $x_0 \!$ un punto di accumulazione per $X_f,\,X_g \!$ .

$\exists \lim_{x \to x_0}f(x) = l_1 \mbox{ e } \exists \lim_{x \to x_0}g(x) = l_2 \!$

allora

$\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = c \cdot l_1 \qquad c \in \R \!$
$\lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2 \!$
$\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x)) = l_1 \cdot l_2 \!$
$\lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)} = {1 \over l_1} \qquad \mbox{se }l_1 \ne 0 \!$
$\lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = {l_1 \over l_2} \qquad \mbox{se }l_2 \ne 0 \!$