Numeri di Grassmann

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In Fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) e` una quantita` $θ i$ che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann , ma commuta con i numeri ordinari $x j$ ,

$\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i\qquad\theta_i x_j = x_j\theta_i.$

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann e' nullo:

$\theta_i\theta_i = 0.\,$

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann e` nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L' algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2ⁿ. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmenti indipendenti:

θ 1,θ 2,θ 3

θ 1 θ 2,θ 2 θ 3,θ 3,θ 1

θ 1 θ 2 θ 3

che insieme all'unita` 1, formano uno spazio 2³=8-dimensionale.

[modifica] Rappresentazione matriciale

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l' algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann $θ 1$ e $θ 2$ . Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4 :

$\theta_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ \end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ \end{bmatrix}$

In generale, una algebra di Grassmann con n generatori puo` venire rappresentata da 2ⁿ × 2ⁿ matrici quadrate. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione e` o 0 o 1, ci sono 2ⁿ stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell' algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.