Operatore aggiunto

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In matematica e in particolare nell'analisi funzionale, ogni operatore lineare su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.

L'aggiunto di un operatore generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso.

L'aggiunto di un operatore A è a volte chiamato hermitiano aggiunto di a e si scrive A^* o A^† (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).

Indice

1 Definizione per operatori limitati
2 Operatori aggiunti in dimensione finita
3 Operatori aggiunti non limitati
4 Voci correlate

[modifica] Definizione per operatori limitati

Sia A un operatore lineare continuo in uno spazio H di Hilbert con il prodotto scalare $\langle, \rangle$ y un elemento di H fissato. Definiamo il funzionale lineare per ogni $x\in H$ :

$x \rightarrow \langle y, Ax \rangle$

definito dallo spazio H allo spazio dei complessi $\mathbb{C}$ (cioè appartiene al duale di H); è continuo perché A è continua e il prodotto scalare è continuo. Chiamiamo $\langle z , x \rangle = \langle y, Ax \rangle$ . L'operatore:

z = A * y

la cui esistenza è garantita dal Teorema di Riesz-Fischer e ha la proprietà di essere un operatore limitato infatti:

$|\langle A^* y | x \rangle | = |\langle y | Ax \rangle | \le \|y \| \|A\| \|x\|$

dalla quale si ha che: $\frac{\|A^* y\|}{\|y\|} \le \| A \|$ .

Si definisce operatore aggiunto nello spazio H l'operatore che soddisfa la proprietà:

$\langle y |Ax \rangle = \langle A^* y | x \rangle$ per ogni x, y in H.

Vale il teorema che se l'operatore A è aggiunto allora:

$\|A\| = \|A^* \|$

[modifica] Operatori aggiunti in dimensione finita

Consideriamo lo spazio $\mathbb{R}^n$ . L'operatore A applicato ad un elemento di $\mathbb{R}^n$ : x, è l'usuale trasformazione ad uno spazio $\mathbb{R}^m$ : $y = A x \in \mathbb{R}^m$ che sappiamo può essere scritto:

$y_i = \sum_{i = 1}^{n} a_{ij} x_j$

anche il funzionale f(x) definito come:

$f(x) = \sum_{i = 1}^{n} f_{j} x_j$

Risulta:

$f(x) = g \left( Ax \right) = \sum_{i = 1}^{m} g_{i} y_i = \sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} g_{i} a_{ij} x_j = \sum_{j = 1}^{n} x_j \sum_{i = 1}^{m} g_{i} a_{ij}$