Operatore differenziale

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In matematica un operatore differenziale è un operatore lineare definito come una funzione dell'operatore differenziazione.

Indice

1 Notazioni
2 Proprietà degli operatori differenziali
3 Più variabili
4 Descrizione indipendente dalle coordinate
5 Voci correlate

[modifica] Notazioni

Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono:

${d \over dx}$

$D,\,$ quando la variabile di differenziazione è chiara, e

$D_x,\,$ quando la variabile è dichiarata esplicitamente.

Per le derivate successive

$d^n \over dx^n$

$D^n\,$

$D^n_x.\,$

La notazione D è accreditata a Oliver Heaviside, che considerava gli operatori differenziali della forma

$\sum_{k=0}^n c_k D^k$

nello studio delle equazioni differenziali.

Uno dei più frequenti operatori differenziali è il laplaciano, definito come

$\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.$

Un altro operatore differenziale è l'operatore Θ, definito come

$\Theta = z {d \over dz}.$

[modifica] Proprietà degli operatori differenziali

Molte proprietà degli operatori differenziali sono conseguenza delle proprietà delle derivate, che sono lineari

D (f + g) = (D f) + (D g)

D (a f) = a (D f)

dove f e g sono funzioni e a è una costante.

Ogni polinomiale in D con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola

(D₁oD₂)(f) = D₁ [D₂(f)].

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore D₂ deve essere differenziabile tante volte quanto l'operatore D₁ richiede. Per ottenere un anello di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è commutativo: un operatore gD non è in generale uguale a Dg. Per esempio la relazione semplice in meccanica quantistica

Dx − xD = 1.

Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in D con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.