Particella in una scatola
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Il cosiddetto problema di particella in una scatola consiste nello studio delle funzioni d'onda di una particella sottoposta al potenziale detto di buca. Si distinguono due casi: buca a pareti infinite e buca a pareti finite.
[modifica] Buca a pareti infinite (1D)
Questo problema consiste nello studio della funzione d'onda ψ(x,t) per una particella vincolata a muoversi sul segmento 0<x<a.
Sia dato il potenziale:
Consideriamo una particella di massa m e valutiamo le funzioni d'onda ad essa associate con questo potenziale. Per ricavare le funzioni d'onda dobbiamo risolvere l'equazione di Schrödinger.
Poiché solo stati legati sono possibili, le soluzioni avranno la forma:
con A,B coefficienti reali arbitrari da determinarsi.
Imponendo le condizioni al contorno ψ(a) = ψ(0) = 0 si ottiene:
La costante A si determina imponendo la normalizzazione degli stati. Quindi le funzioni d'onda saranno:
![\psi_n(x)=\sqrt\frac{2}{a}\sin \left[\frac{n\pi x}{a}\right]\qquad 0\le x\le a](../../../math/d/2/1/d21fc3f64d19ac0cb61c26b40d37a2a1.png)
,
mentre lo spettro delle energie sarà:
Classicamente la particella va avanti-indietro nella buca con velocità e quindi energia qualsiasi, mentre quantisticamente solo alcuni valori di E sono ammessi. Il limite classico si ottiene per 
cioè per particelle massive in buche larghe. In questo caso le spettro diventa denso sulla scala delle energie ed non ha più senso associare alla particella una sola funzione; è necessaria una sovrapposizione di funzioni d'onda.
