Poliedro di Escher

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In geometria il Poliedro di Escher, detto anche Dodecaedro rombico stellato è uno dei tanti Poliedri composti dell’insieme infinito dei Poliedri

È composto da tre Ottaedri regolari schiacciati, con indice di schiacciamento uguale a circa ¾, assemblati in modo da avere una intersezione parzialmente facciale.

[modifica] Pertinenze quantitative

n° facce (F=8x3=24, uguali) - (Triangolo isoscele).
n° vertici (V=18)
n° spigoli (S=3x12=36)
valenza dei vertici (numero degli spigoli che fanno capo allo stesso vertice ) – VAL1=4 – VAL2=8.
n° cuspidi.: ([K3]1=12) (Base: rombo sferico) – ([K3]2=6) (Base: ottaedro regolare stellato).

[modifica] Pertinenze dimensionali

I lati di ciascuno dei ventiquattro triangoli isosceli che compongono il poliedro sono proporzionali ai numeri: 2, √3, √3.

[modifica] Caratteristiche

Dualità: Il poliedro è duale del Triprisma rettangolare.

Elementarmente, un poliedro P è duale di un altro Q allorquando il numero dei vertici di P è uguale al numero delle facce di Q e viceversa, conservando lo stesso numero di spigoli. Per un poliedro composto, la dualità ha valore relativo, cioè, è valida soltanto prendendo in considerazione i poliedri semplici che lo compongono.

[modifica] Connessioni solidali

Dodici vertici (vertici alti) degli ottaedri (quattro per ciascun poliedro) sono vertici di uno dei Poliedri archimedei detto Cubottaedro, mentre gli altri (vertici bassi) sono i centri dei sei quadrati che compongono il cubottaedro stesso. Il poliedro in contesto è detto poliedro inferiore, mentre quello che lo contiene (il cubottaedro) poliedro superiore.

Le intersezioni di tutti gli spigoli dei tre ottaedri sono vertici di un altro dei Poliedri archimedei detto Dodecaedro rombico.

[modifica] Modello

Poliedro di Escher

La costruzione del modello in filo metallico dello scheletro essenziale (vertici e spigoli) del poliedro, riesce semplificata assemblando, opportunamente (dopo costruito il primo ottaedro), uno per volta, i rimanenti sedici triangoli isosceli. La costruzione del modello in cartoncino riesce agevolata partendo dal dodecaedro rombico e montando, su ogni faccia, una piramide a base rombica, allineando gli spigoli.

Il periodico settimanale Giochi d'ingegno (n°.14, maggio 2006, pag.1), con l'allegato modellino in legno, riporta un'ampia descrizione del poliedro, posto come rompicapo a incastro, noto già in Svizzera e Inghilterra ai tempi del matematico Schläfli.

Lo stesso periodico riporta la foto de La cascata (litografia) di Escher, dove sulle due torri della struttura primeggiano, sia il poliedro in contesto, che il suo duale (non facilmente riconoscibile).