Prebase (topologia)
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Esistono diversi modi per generare una topologia senza dover specificare tutti gli aperti. Partire da una sottobase (anche detta prebase, in inglese subbasis) è uno di questi.
[modifica] Definizione
Una sottobase è una collezione S di sottoinsiemi di X la cui unione è X. Partendo da S possiamo generare una base B per una topologia su X, formata da tutte le intersezioni finite di elementi di S.
[modifica] Dimostrazione
Dobbiamo ovviamente dimostrare che la collezione B è una base:
- notiamo che ogni elemento di S appartiene a B;
- per ipotesi, l'unione di tutti gli elementi di S dà X, quindi, scelto x in X, esiste almeno un V in B che contiene x;
- prendiamo U e W in B; sappiamo che U è l'intersezione di un numero finito di elementi di S e lo stesso vale per W; quindi l'intersezione tra i due insiemi è esprimibile anch'essa come intersezione di elementi di S e perciò appartenente a B. Questo implica che scelto x qualsiasi appartenente all'intersezione tra U e W esiste un elemento di B, sottoinsieme dell'intersezione, che contiene x.
Q.E.D.
