Principio di localizzazione di Cantor

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Il termine numero reale è stato coniato da Georg Cantor alla fine del XIX secolo, e quindi in un certo senso può esserne considerato il padre: una colonna portante della teoria degli insiemi del matematico tedesco, all'interno della quale coniò appunto il termine suddetto, è proprio il principio omonimo, detto anche di localizzazione. Questo teorema afferma che:

Teorema: Principio di localizzazione di Cantor

Sia $I n$ una successione di intervalli chiusi e inscatolati, cioè :

$I_0=\left [ a_0,b_0 \right ] \supseteq I_1=\left [ a_1,b_1 \right ] \supseteq.....I_n=\left [ a_n,b_n \right ] \supseteq....$

se
$\forall M \in \mathbb{N} \quad \exists \ n \in \mathbb{N} : \quad b_n-a_n < \ 10^{-M}$

allora:

esiste un unico numero reale $\quad x^* \in I_n \quad \forall n \in \mathbb{N}$

e inoltre $\quad x^* = \sup \left \{ a_n \right \} = \inf \left \{ b_n \right \}$

[modifica] Osservazioni generali

Nell'ipotesi si parla di intervalli inscatolati: è un termine molto usato per dire in modo riassuntivo che ogni intervallo interno è contenuto dentro tutti quelli a lui esterni, anche se in teoria molti di questi potrebbero essere coincidenti. Ovviamente se tutti gli intervalli sono uguali, cioè in pratica ne esiste uno solo, automaticamente la tesi non è ottenibile, dal momento che basterà prendere un sottintervallo del primo per fare fallire la seconda e importantissima ipotesi. In un certo senso il principio può essere visto come una diretta conseguenza dell’esistenza dell’estremo superiore, dato che ci dice che una successione di intervalli chiusi inscatolati, per cui esiste un intervallo più piccolo per ogni potenza di 10, contiene in essi un unico numero reale che appartiene a tale successione di intervalli.

[modifica] La completezza dei reali

Il principio di localizzazione è di fatto equivalente all’esistenza dell’estremo superiore, come detto prima; quindi esso è un modo alternativo di enunciare la completezza dei reali, che ci permette di associare un unico numero reale ad ogni coppia di classi separate e contigue (vedremo dopo cosa significano questi termini), che lo individuano. L’utilità del principio di localizzazione deriva dal fatto che permette di definire numeri reali per mezzo di loro approssimazioni dal basso e dall’alto. L’unica difficoltà tecnica risiede nel dover verificare che la distanza fra le approssimazioni per difetto e quelle per eccesso, ossia l’errore nella localizzazione, possa essere resa arbitrariamente piccola, raffinando abbastanza l’approssimazione.

[modifica] Osservazioni sugli estremi degli intervalli

Parlando del legame tra il principio di localizzazione e la completezza dei numeri reali si è parlato di classi separate e contigue: esse non sono altro che gli insiemi delle successioni di tutti gli estremi degli intervalli, e si possono scrivere come $\left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \}$ .
Le due classi, che come abbiamo detto prima possono essere viste come stime del numero reale, dall'alto e dal basso, sono dette separate e contigue dato che per la seconda ipotesi del principio di Cantor la loro distanza è minore di qualsiasi potenza di 10.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../p/r/i/Principio_di_localizzazione_di_Cantor_bbc3.html"

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