Problema di Apollonio/Due punti e una retta

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Dati due punti $A$ e $B$ ed una retta $\,r\,$ , si vogliano determinare le circonferenze passanti per i punti assegnati e contemporaneamente tangenti alla retta data.

È necessario distinguere i seguenti casi:

I due punti appartengono ad una retta parallela a quella assegnata

La soluzione del problema si ottiene come spiegato in seguito: si tracci l'asse del segmento AB e se ne indichi con C l’intersezione con la retta $\,r\,$ . A questo punto, utilizzando la tecnica esposta nel caso della circonferenza per tre punti dati, si costruisca la circonferenza passante per i tre punti A, B, C.

Passo 1	Passo 2	Passo 3

I due punti non appartengono alla retta data, né ad una retta parallela a quella assegnata

Immagine:Apollonio due punti una retta.gif

La costruzione da svolgere deve condurre a disegnare una o più circonferenze come quella rappresentata nella figura qui a fianco.

Per un noto teorema di geometria euclidea (teorema della tangente e della secante), il segmento ST è medio proporzionale tra SB e SA. Si deve quindi riuscire in qualche modo a costruire con riga e compasso questo segmento che permetterà di individuare poi le circonferenze cercate.

La costruzione si sviluppa attraverso i seguenti passi:

si tracci la retta passante per A e per B e si indichi con S la sua intersezione con la retta $r$ data;
si tracci la circonferenza con centro nel punto medio M del segmento SA e passante per A;
si tracci la retta perpendicolare al segmento SA passante per B e si indichi con C l’intersezione di quest’ultima con la circonferenza: per il primo teorema di Euclide SC è il segmento cercato;
si tracci la circonferenza con centro in S e passante per C e si indichino con T1 e T2 i punti di intersezione di quest’ultima con la retta $\,r\,$ assegnata;
si traccino le due circonferenze passanti rispettivamente per le terne di punti A, B, T1 e A, B, T2.

Passo 1	Passo 2


Passo 3	Passo 4

Passo 5	Passo 6

Uno dei due punti appartiene alla retta data

Questo problema ammette un’unica circonferenza come soluzione. Essa si può costruire con un procedimento abbastanza semplice che si sviluppa con i seguenti passi:

si tracci la retta perpendicolare alla retta $\,r\,$ data e passante per il punto B appartenente a quest’ultima retta;
si tracci l’asse del segmento individuato dai punti A e B;
la circonferenza cercata ha centro in C (intersezione tra la perpendicolare condotta da B e l’asse del segmento) e passa per i due punti A e B assegnati.