Problema di Apollonio/Due rette e un punto
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Si prendano in considerazione due rette 
ed 
incidenti nel punto O e un punto A non appartenente ad esse. Si tracci una qualsiasi delle circonferenze tangenti ad entrambe le rette: per questo si tracci la bisettrice dell’angolo che contiene il punto A; per un punto C scelto arbitrariamente su questa bisettrice si tracci la perpendicolare ad una delle due rette assegnate e si indichi con B il corrispondente punto di intersezione; quindi si tracci la circonferenza con centro in C e passante per B.
Si tracci la retta passante per O e A; tale retta interseca la circonferenza di cui sopra in due punti che chiamiamo M e N.
Le due omotetie di centro O e di rapporto rispettivamente 
ed 
trasformano la circonferenza di centro C nelle due circonferenze passanti per A e tangenti alle due rette del problema iniziale. È inoltre possibile dimostrare che la scelta di C è arbitraria.
Si osserva che nel caso il punto A cada su una delle due rette, diciamo sulla , le due circonferenze vengono a coincidere con la circonferenza che ha il centro sull'intersezione fra la perpendicolare alla in A e la bisettrice dell'angolo. Osserviamo anche che si deve considerare anche la circonferenza individuata dall'altra bisettrice delle due rette.
