Q di Yule

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La variabile di test Q di Yule è un indice di associazione, ideato dallo statistico scozzese George Udny Yule, e usato in tabelle statistiche dette di contingenza $2 \times 2$ .

Un indicatore ideato dallo stesso autore è la Y di Yule. Rispetto quest'ultima il valore assoluto è sempre maggiore ( $| Q | > | Y |$ ) a meno che non vi sia indipendenza o completa associazione.

[modifica] Storia

L'indice venne presentato da Yule nell'articolo On the association of attributes in statistics^[1] e fu al centro di una controversia con il matematico e statistico inglese Karl Pearson. La posizione di Pearson era che alla base di una tabella di contingenza vi fosse un fenomeno continuo e gaussiano, invece che un fenomeno discreto come sostenuto da Yule, che considerava poco scientifico fare ipotesi non desiderate e non verificabili.

Pearson, inoltre, notava che "collassando" una tabella $N \times N$ , riducendola a 2x2, si ottengono risultati differenti a seconda di come vengono aggregati i valori. Questa osservazione rimane tutt'ora valida.

[modifica] Metodologia

Q = (α - 1) / (α + 1)

ove

α = (P 11 / P 21) / (P 12 / P 22)

è il cosiddetto odds ratio

P i j = P (A i B j)

ove sia

i

che

j

assumono i valori 1 e 2

Tale indice $Q$ varia tra -1 e +1, ove 0 indica l'indipendenza.

$Q$ può essere stimato da

q = (a - 1) / (a + 1)

dove in questo caso

a = (f 11 / f 21) / (f 12 / f 22)

in analogia a

α

(con il vincolo che

f i j

sia sempre maggiore di zero

mentre la varianza di $q$ viene stimata con

$s^2(q) = 1/4 (1-q)^2 \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N 1/f_{ij}$

[modifica] Esempio

 Valori assoluti
 +-------------+-------+------+
 |     \ Abile |   Si  |  No  |
 |Sesso \      |       |      |
 +-------------+-------+------+
 |Uomini       |  20   |  80  |
 |Donne        |  90   |  80  |
 +-------------+-------+------+

 Valori relativi (f)
 +-------------+-------+------+
 |     \ Abile |   Si  |  No  |
 |Sesso \      |       |      |
 +-------------+-------+------+
 |Uomini       | 0,074 | 0,296|
 |Donne        | 0,333 | 0,296|
 +-------------+-------+------+

a = (0,074 / 0,333) / (0,296 / 0,296) = 0,222

q = (0,222 - 1) / (0,222 + 1) = - 0,636

[modifica] Valori di q differenti

Collassando una tabella $N \times N$ a una $2 \times 2$ , a causa del criterio di aggregazione dei valori, si possono ottenere valori di $q$ differenti. (cf. osservazione di Karl Pearson)

Se per esempio i dati di partenza fossero stati

 
 +-------------+-------+------+------+
 |     \ Abile |   Si  | boh! |  No  |
 |Sesso \      |       |      |      |
 +-------------+-------+------+------+
 |Uomini       |  20   |  10  |  70  |
 |Donne        |  90   |   0  |  80  |
 +-------------+-------+------+------+

assegnando il "Boh!" ai "No" si ottiene la tabella e il $q = - 0,636$ di cui sopra, mentre assegnandolo ai "Si" si ottiene la tabella seguente:

 +-------------+-------+------+
 |     \ Abile |   Si  |  No  |
 |Sesso \      |       |      |
 +-------------+-------+------+
 |Uomini       |  30   |  70  |
 |Donne        |  90   |  80  |
 +-------------+-------+------+

con l'indicatore $q$ che si attenua diventando $q = - 0,448$