Simmetria assiale nel piano complesso

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Lo studio della simmetria assiale nel piano complesso viene proposto attraverso alcuni casi particolari.

Indice

1 Casi particolari
2 Voci correlate

[modifica] Casi particolari

[modifica] Simmetria rispetto all’asse delle ascisse $O x$

La simmetria rispetto all’asse delle ascisse $O x$ è la trasformazione:

$\begin{matrix}S_{x}:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&= \overline{z} \end{matrix}$ .

che associa ad ogni numero complesso $z$ il suo coniugato complesso $z'= \overline{z}$ .

Infatti, scritto il numero complesso in forma trigonometrica, $z=\rho(\cos\vartheta + i\sin\vartheta)$ , si ottiene che

$z' = \overline{z}=\rho(\cos (-\vartheta) + i\sin(-\vartheta))=\rho e^{- i \vartheta}$

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di $z$ rispetto all'asse delle ascisse $O x$ .

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al suo coniugato $\overline {z}$ significa applicare al punto $P (z)$ la simmetria rispetto all’asse delle ascisse $O x$ .

[modifica] Simmetria rispetto all’asse delle ordinate $O y$

La simmetria rispetto all’asse delle ordinate $O y$ è la trasformazione:

$\begin{matrix}S_{y}:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&= - \overline{z} \end{matrix}$ .

che associa ad ogni numero complesso $z$ l'opposto del suo coniugato $z'= -\overline{z}$ .

Infatti se $z=\rho(\cos\vartheta + i\sin\vartheta)$ ,

$z' = - \overline{z}= e^{i \pi} \overline{z} = \rho(\cos (-\vartheta + \pi) + i\sin(-\vartheta + \pi))=\rho e^{i(- \vartheta + \pi)}$

che, rappresentato nel piano cartesiano, coincide proprio con il simmetrico di $z$ rispetto all'asse delle ordinate $O y$

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ all'opposto del suo coniugato $- \overline {z}$ significa applicare al punto $P (z)$ la simmetria rispetto all’asse delle ordinate $O y$ .

[modifica] Simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$

La trasformazione

$\begin{matrix}S_{y=x}:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&=i \overline{z} \end{matrix}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ il prodotto $i \overline{z}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante $y = x$ .

Infatti se $z=\rho(\cos\vartheta + i\sin\vartheta)$ , la rappresentazione nel piano cartesiano di

$z' =i \overline{z}= e^{i {\pi \over 2}} \overline{z} = \rho\left(\cos \left(-\vartheta + {\pi \over 2}\right) + i\sin \left(-\vartheta + {\pi \over 2}\right)\right)=\rho e^{i(- \vartheta + {\pi \over 2})}$

coincide con il simmetrico di $z$ rispetto alla bisettrice $y = x$ .

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al prodotto $i \overline {z}$ significa applicare al punto $P (z)$ la simmetria rispetto alla retta $y = x$ , bisettrice del primo e del terzo quadrante.

[modifica] Simmetria rispetto alla bisettrice $y = - x$

La trasformazione

$\begin{matrix}S_{y=-x}:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&=-i \overline{z} \end{matrix}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ il prodotto $-i \overline{z}$ rappresenta la simmetria rispetto alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante $y = - x$ .

Infatti se $z=\rho(\cos\vartheta + i\sin\vartheta)$ , la rappresentazione nel piano cartesiano di

$z' =- i \overline{z}= e^{i {3 \over 2} \pi} \overline{z} = \rho\left(\cos \left(-\vartheta + {3 \over 2} \pi \right) + i\sin \left(-\vartheta + {3 \over 2} \pi \right)\right)=\rho e^{i(- \vartheta + {3 \over 2} \pi)}$

coincide con il simmetrico di $z$ rispetto alla bisettrice $y = - x$ .

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al prodotto $-i \overline {z}$ significa applicare al punto $P (z)$ la simmetria rispetto alla retta $y = - x$ , bisettrice del secondo e del quarto quadrante .

[modifica] Simmetria rispetto alla retta $y = y 0$

Dato $\,\omega_0 = 2y_0i\,$ , la trasformazione

$\begin{matrix}S_{y=y_0}:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&=\overline{z}+ \omega_0=\overline{z}+ 2y_0i\end{matrix}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ il numero complesso $\overline{z} + 2y_0i$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta $y = y 0$ .

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione di coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle $x$ , e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se $z = x + i y$ , allora

$\overline{z}=x-iy$

$\overline{z} + 2y_0i=x-iy+2y_0i = x + i(2y_0 - y)$

il che equivale a

$\left \{ \begin{matrix} &x'& =& x & \\ &y'& =& 2y_0&-y \end{matrix} \right.$

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta $y = y 0$ .

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al numero complesso $z' = \overline {z} + 2y_0i$ significa applicare al punto $P (z)$ la simmetria rispetto alla retta di equazione $y = y 0$ .

[modifica] Simmetria rispetto alla retta $x = x 0$

Dato $\,t = 2x_0i\,$ , la trasformazione

$\begin{matrix}S_{x=x_0}:&\mathbb{C}&\longrightarrow&\mathbb{C}&\\ &z&\longmapsto&z'&=-\overline{z}+ t=- \overline{z} + 2x_0\end{matrix}$

che associa ad ogni numero complesso $z$ il numero complesso $- \overline{z} + 2x_0i$ rappresenta la simmetria rispetto alla retta $x = x 0$ .

Infatti nella trasformazione in questione è immediato riconoscere l'operazione dell'opposto del coniugato, che realizza la simmetria rispetto all'asse delle $y$ , e la somma di numeri complessi, che realizza la traslazione.

Se $z = x + i y$ , allora

$\overline{z}=x-iy$

$- \overline{z} + 2x_0i=-x+iy+2x_0i = (2x_0-x)+iy$

il che equivale a

$\left \{ \begin{matrix} &x'& =& 2x_0&-x \\ &y'& =& y& \end{matrix} \right.$

equazioni della simmetria assiale rispetto alla retta $\, x=x_0 \,$ .

Quindi:

passare da un numero complesso $z$ al numero complesso $z' = - \overline {z} + 2x_0$ significa applicare al punto $P (z)$ la simmetria rispetto alla retta di equazione $\, x=x_0 \,$ .

[modifica] Voci correlate

Simmetria assiale nel piano
Traslazione nel piano
Traslazione nel piano complesso
Trasformazione geometrica piana

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../s/i/m/Simmetria_assiale_nel_piano_complesso.html"

Categoria: Geometria piana

Simmetria assiale nel piano complesso

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[modifica] Casi particolari

[modifica] Simmetria rispetto all’asse delle ascisse $O x$

[modifica] Simmetria rispetto all’asse delle ordinate $O y$

[modifica] Simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$

[modifica] Simmetria rispetto alla bisettrice $y = - x$

[modifica] Simmetria rispetto alla retta $y = y 0$

[modifica] Simmetria rispetto alla retta $x = x 0$

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[modifica] Casi particolari

[modifica] Simmetria rispetto all’asse delle ascisse Ox

[modifica] Simmetria rispetto all’asse delle ordinate Oy

[modifica] Simmetria rispetto alla bisettrice y = x

[modifica] Simmetria rispetto alla bisettrice y = - x

[modifica] Simmetria rispetto alla retta y = y0

[modifica] Simmetria rispetto alla retta x = x0

[modifica] Voci correlate

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[modifica] Simmetria rispetto all’asse delle ascisse $O x$

[modifica] Simmetria rispetto all’asse delle ordinate $O y$

[modifica] Simmetria rispetto alla bisettrice $y = x$

[modifica] Simmetria rispetto alla bisettrice $y = - x$

[modifica] Simmetria rispetto alla retta $y = y 0$

[modifica] Simmetria rispetto alla retta $x = x 0$