Spazio misurabile

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Henri Lebesgue, uno dei padri della formalizzazione della teoria della misura.

In matematica, uno spazio misurabile è una struttura astratta alla base di molte idee e nozioni dell'analisi, in particolare in teoria della misura, come quelle di funzione misurabile, insieme misurabile, misura, integrale, sistema dinamico^[1].

Gli spazi misurabili sono oggetto della Matematica sin dal XIX secolo, quando si iniziò uno studio sistematico degli oggetti matematici connessi con l'idea di integrale. Tuttavia, è solo all'inizio del XX secolo che la attuale teoria della misura, e conseguentemente la nozione astratta di spazio misurabile, prende corpo^[2].

Oltre ad un interesse in sé, gli spazi misurabili sono interessanti in quanto è possibile costruire strutture più complesse a partire da essi. Ciò accade ad esempio per le importanti strutture di spazio di misura, spazio di probabilità e sistema dinamico. Inoltre, sono basate sul concetto di spazio misurabile le nozioni di insieme misurabile e funzione misurabile.

[modifica] Definizione

Uno spazio misurabile è una coppia $(\Omega, \mathfrak{F})$ costituita da un insieme (arbitrario) non vuoto $Ω$ ed una σ-algebra $\mathfrak{F}$ su $Ω$ . In questo contesto, l'insieme $Ω$ è chiamato a volte spazio campionario (soprattutto nelle applicazioni inerenti la statistica e la probabilità); i sottoinsiemi di $Ω$ che sono in $\mathfrak{F}$ sono detti insiemi misurabili di $Ω$ rispetto ad $\mathfrak{F}$ , o più brevemente insiemi $\mathfrak{F}$ -misurabili.

Ne segue che gli spazi misurabili formano una categoria, i cui morfismi sono le funzioni misurabili.

[modifica] Costruzione di spazi misurabili

[modifica] Spazi boreliani

Per approfondire, vedi la voce Algebra di Borel.

Ricordiamo che data una famiglia $\mathfrak{G}$ di sottoinsiemi di $Ω$ , risulta ben definita la σ-algebra $\sigma(\mathfrak{G})$ generata da $\mathfrak{G}$ ^[3]. Dato uno spazio topologico $(\Omega,\mathcal{\Tau})$ è possibile costruire uno spazio misurabile $(\Omega,\mathfrak{F})$ , semplicemente ponendo $\mathfrak{F}=\sigma(\mathcal{\Tau})$ , la σ-algebra generata da $\mathcal{\Tau}$ . Gli spazi misurabili di questo tipo, quelli cioè generati da una topologia, prendono il nome di spazi boreliani^[4]. Una semplice osservazione che chiarisce la connessione tra la struttura topologica e quella di misurabilità di tali spazi è la seguente^[5]:

Lemma: Lemma di misurabilità di funzioni continue

Siano $(\Omega,\mathcal{\Tau}),\,(\Psi,\Upsilon)$ due spazi topologici, e $(\Omega,\mathfrak{F}),\,(\Psi,\mathfrak{G})$ i relativi spazi boreliani. Se un'applicazione $f:\Omega \mapsto \Psi$ è continua (rispetto a $\mathcal{\Tau},\,\Upsilon$ ), allora essa è misurabile (rispetto a $\mathfrak{F},\,\mathfrak{G}$ ).

[modifica] Spazi con misurabilità indotta da funzioni

Siano $(\Psi,\mathfrak{G})$ uno spazio misurabile, $Ω$ un insieme non vuoto, ed $f:\Omega \mapsto \Psi$ un'applicazione arbitraria da $Ω$ a $Ψ$ . Possiamo definire su $Ω$ una struttura di spazio misurabile, costruendo la σ-algebra $\mathfrak{F}$ come la più piccola σ-algebra rispettoa a cui $f$ sia misurabile^[6]. La struttura di spazio $(\Omega,\mathfrak{F})$ si dice indotta da $f$ su $Ω$ . Un'importante caratterizzazione di $\mathfrak{F}$ è la seguente:

$\mathfrak{F}=\left\{E\subset \Omega \quad \mbox{tali che}\quad \exists F \in\mathfrak{G}, E=f^{-1}(F) \right\}$ ;

in pratica, $\mathfrak{F}$ è la σ-algebra i cui elementi sono le controimmagini (rispetto ad $f$ ) di elementi di $\mathfrak{G}$ ^[7].

Più in generale, se $\mathcal{I}$ è una famiglia (finita o non finita) di funzioni da $Ω$ a $Ψ$ , possiamo definire su $Ω$ la σ-algebra $\mathfrak{F}$ come la più piccola σ-algebra che rende tutte le funzioni in $\mathcal{I}$ misurabili.

[modifica] Spazi prodotto

Se $(\Omega_1,\mathfrak{F}_1)$ e $(\Omega_2,\mathfrak{F}_2)$ sono due spazi misurabili, si può definire una struttura di spazio misurabile sul prodotto cartesiano $\Omega:=\Omega_1 \times \Omega_2$ , equipaggiando $Ω$ con una opportuna σ-algebra $\mathfrak{F}$ , di cui sono di seguito date due caratterizzazioni.

Siano $π 1,π 2$ le proiezioni canoniche $\pi_i:\Omega \mapsto \Omega_i$ (ossia, ad esempio $π 1 ((ω 1,ω 2)) = ω 1$ ). Allora possiamo definire $\mathfrak{F}$ come la più piccola σ-algebra rispetto a cui entrambe $π 1,π 2$ siano misurabili. Si noti l'analogia tra questa definizione e quella di topologia prodotto.
Consideriamo la famiglia di sottoinsiemi di $Ω$ costituita dai sottoinsiemi che sono il prodotto cartesiano di un elemento di $\mathfrak{F}_1$ per un elemento di $\mathfrak{F}_2$ , ossia poniamo:

$\mathfrak{G}:=\left\{E\times F;\quad E\in \mathfrak{F}_1, F\in\mathfrak{F}_2\right\}$ .

In generale, $\mathfrak{G}$ non sarà una σ-algebra (né un'algebra). Infatti, in generale l'unione di due insiemi di $\mathfrak{G}$ non sarà un insieme di $\mathfrak{G}$ , e dunque tale famiglia non è stabile per unioni (si noti tuttavia che essa è stabile per intersezione, è cioè un π-sistema). Poniamo allora $\mathfrak{F}:=\sigma(\mathfrak{G})$ (che, per definizione, è una σ-algebra^[8]).

Non è difficile verificare che le due caratterizzazioni date coincidono; lo spazio misurabile $(\Omega,\mathfrak{F})$ così costruito prende il nome di spazio misurabile prodotto.

Più in generale, possiamo effettuare la costruzione sul prodotto cartesiano di una famiglia qualunque di spazi misurabili. Sia $\{\Omega_\alpha,\mathfrak{F}_\alpha\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$ una qualsiasi famiglia (finita o infinita) di spazi misurabili, e sia $\Omega=\prod_{\alpha \in \mathcal{A}} \Omega_\alpha$ . La prima caratterizzazione si estende facilmente a questo caso: sarà sufficiente definire $\mathfrak{F}$ come la più piccola σ-algebra rispetto a cui tutte le proiezioni canoniche $π α$ siano continue. La seconda caratterizzazione è leggermente più complessa. Si dovrà infatti porre $\mathcal{F}=\sigma(\mathfrak{G})$ , dove $\mathfrak{G}$ è ora definito come

$\mathfrak{G}:=\left\{E \subset \Omega, \, \mbox{tali che} \, E=\prod_{\alpha \in \mathcal{A}}E_\alpha, \, \mbox{dove}\, E_\alpha \subset \Omega_\alpha, E_\alpha \neq \Omega_\alpha \,\mbox{solo per un numero finito di}\,\alpha\right\}$ .

Si noti che nel caso in cui $Ω 1,Ω 2$ siano due spazi boreliani, possiamo costruire due diverse σ-algebre sullo spazio prodotto $\Omega=\Omega_1\times\Omega_2$ . Una è quella appena descritta, mentre l'altra è la σ-algebra boreliana generata dalla topologia prodotto. Risulta che questa seconda σ-algebra contiene sempre la prima, e che esse coincidono nel caso in cui le topologie di $Ω 1$ , $Ω 2$ soddisfino il primo assioma di numerabilità. Pertanto, in questo caso, potremo affermare che il lo spazio prodotto di due spazi boreliani è boreliano.

La nozione di spazio prodotto è molto importante per la teoria della misura, dal momento che offre delle caratterizzazioni per gli integrali multipli, e nella teoria della probabilità, in quanto consente di costruire esplicitamente variabili casuali indipendenti.

[modifica] Esempi

Qualsiasi insieme non vuoto equipaggiato con la σ-algebra minimale $\mathfrak{F}_0:=\{\emptyset, \Omega\}$ o con la σ-algebra del suo insieme delle parti $\mathfrak{F}_\mathcal{P}:=\mathbf{2}^\Omega$ è uno spazio misurabile.
In alcuni casi, vi sono più σ-algebre interessanti, e quindi più spazi misurabili, definibili su di uno stesso insieme $Ω$ . Questo è ad esempio il caso della retta reale $\mathbb{R}$ (o più in generale di $\mathbb{R}^n$ ), in cui sono spesso considerate le σ-algebre di Borel (vedi sopra) e di Lebesgue. La prima è in genere utilizzata quando si studiano funzioni misurabili, ad esempio il precedente lemma di misurabilità delle funzioni continue risulta utile in questo contesto. La seconda è una σ-algebra molto più ampia di questa, ed è interessante nelle questioni riguardanti le misure e gli insiemi misurabili (infatti, è il completamento della σ-algebra di Borel rispetto alla misura di Lebesgue); tuttavia tale σ-algebra risulta piuttosto scomoda per definire le funzioni misurabili: risulta infatti che neanche le funzioni continue da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$ sono misurabili rispetto alla σ-algebra di Lebesgue.

[modifica] Note

↑ Per un'introduzione alle idee della teoria della misura (come appunto quella di spazio misurabile), ed alle loro applicazioni si veda Billingsley Probability and measure. Una presentazione generale, ma più astratta, è data anche in Cohn, Measure Theory. Un testo introduttivo classico è Halmos Measure Theory.
↑ Un breve resoconto dello sviluppo storico della teoria della misura e dell'integrazione si trova in Boyer History of Mathematics, cap. 28.
↑ Per maggiori dettagli sul concetto di σ-algebra generata da un insieme, si veda la sezione Principali risultati nella voce σ-algebra.
↑ Si faccia attenzione a non confondere gli spazi borrelliani con gli spazi boreliani standard. Questi ultimi sono degli spazi boreliani nel senso discusso sotto, ma con l'ipotesi agguntiva che Ω abbia una struttura di spazio polacco. Gli spazi boreliani standard hanno un notevole interesse, ma sono trattati in questa voce solo in quanto spazi boreliani generali.
↑ Per la dimostrazione, breve ed elementare, di questo risultato si veda Halmos Measure Theory, pag. 102-107.
↑ Si noti che il concetto di più piccola σ-algebra è ben definito, dal momento che se una funzione è misurabile rispetto a tutti gli elementi di una famiglia di σ-algebre, essa è misurabile anche rispetto alla loro intersezione (che è ancora una σ-algebra). Per approfondire questa idea, si veda la sezione Principali risultati della voce σ-algebra.
↑ Si veda la voce controimmagine per comprendere come le proprietà elementari di f^-1 garantiscano che quella definita sia effettivamente una σ-algebra.
↑ Ricordiamo che data una famiglia di sottoinsiemi di Ω risulta ben definita la σ-algebra da essa generata. Per maggiori dettagli sul concetto di σ-algebra generata da un insieme, si veda la sezione Principali risultati nella voce σ-algebra.

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

Patrick Billingsley. Probability and measure. 3rd edition. New York, John Wiley & Sons, 1995. ISBN 0-471-00710-2.

Carl B. Boyer. History of Mathematics. 2nd edition. New York, John Wiley & Sons, 1989. ISBN 0-471-54397-7

Donald L. Cohn. Measure Theory. Boston, Birkhäuser, 1980. ISBN 0-849-37157-0

Paul R. Halmos. Measure Theory. New York, Springer-Verlag, 1974. ISBN 0-387-90088-8

Eric M. Verstrup. The Theory of Measures and Integration. Hoboken, John Wiley & Sons, 2003. ISBN ISBN 0-471-24977-7

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../s/p/a/Spazio_misurabile.html"

Categorie: Teoria della misura | Teoria della probabilità