Utente:Stefano Contini

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Il corpo nero

Un corpo nero per definizione è un corpo che assorbe completamente qualunque tipo di radiazione incidente. Esso viene realizzato in laboratorio tramite una cavità termicamente isolata con un piccolo foro. Infatti una radiazione entrante prima di fuoriuscire dal foro di entrata subirà un notevole numero di riflessioni e assorbimenti, tanto da uscire fortemente attenuata. In altre parole si può dire che la cavità assorbe quasi tutta l'energia elettromagnetica entrante.

Ricordiamo che un qualunque corpo che si trovi a temperatura $T \neq 0$ è sorgente di radiazione elettromagnetica dovuta al moto di agitazione termica degli atomi che lo compongono. L'emissione di energia e.m. avviene a spese dell'energia termica. Dunque all'interno della cavità sarà sempre presente una radiazione termica, e nel caso in cui la temperatura rimanga costante (condizioni di equilibrio termodinamico) la distribuzione di radiazione viene detta spettro di corpo nero.

Calcolo dello spettro di corpo nero

Consideriamo una cavità al cui interno è presente un mezzo di indice di rifrazione $η$ . Inoltre supponiamo che il mezzo sia omogeneo e isotropo per cui $η$ è invariante per rotazioni e traslazioni. Inoltre supponiamo che il dielettrico non sia ferromagnetico per cui $\mu_r \simeq 1$ e $\eta^2 \simeq \epsilon_r$ .

All'interno della cavità è possibile definire una densità di energia elettromagnetica ottenibile a partire dalle equazioni di Maxwell:

$\rho (E,B)=\frac{1}{2} \epsilon_0 (\epsilon_r E^{2}+ \frac{c^{2}B^{2}}{\mu_{r}})$

per cui l'energia e.m. totale è

W =	∫	ρdV
	V

A noi interessa calcolare la distribuzione spettrale di energia, ovvero la $ρ ω$ per cui $d ρ ω = ρ ω d ω$ rappresenta la densità di energia e.m. presente con frequenza compresa tra $ω$ e $ω + d ω$

Attraverso un breve ragionamento è possibile vedere come la $ρ ω$ possa dipendere esclusivamente dalla frequenza e temperatura e non dalla forma e materiale di cui è costituita la cavità.

Consideriamo infatti due cavità di forma e materiale differente che si trovino alla stessa temperatura $T$ . In entrambe le cavità ci sarà una certa distribuzione di energia elettromagnetica descritta dalle funzioni $\rho_{\omega}^{1}$ e $\rho_{\omega}^{2}$ .

Supponiamo che per una generica frequenza $ω$ valga $\rho_{\omega}^{1}>\rho_{\omega}^{2}$ , allora se uniamo le due cavità attraverso un collegamento ottico con un filtro che permetta il trasferimento di energia alla frequenza $ω$ ci sarà un flusso di energia dalla cavità 1 alla cavità 2. Questo però va contro il secondo principio della termodinamica perchè le due cavità si trovano alla stessa temperatura, dunque concludiamo che dev'essere $\rho_{\omega}^{1}=\rho_{\omega}^{2}$ , e $ρ ω = ρ ω (ω, T)$ .

Per quanto detto possiamo non complicarci la vita e considerare una cavità che abbia una geometria semplice, ad esempio un bel parallelepipedo a base quadrata di spigoli 2a, 2a, d.

Supponiamo che le pareti siano perfettamente conduttrici, allora è possibile immagazzinare e conservare energia e.m. all'interno della cavità senza perdite purchè le frequenze corrispondano alle frequenze di risonanza della cavità.

Le frequenze di risonanza della cavità sono quelle per cui si instaurano delle onde stazionarie, quindi nelle tre direzioni devono essere comprese un numero intero di semilunghezze d'onda. Vediamo per un lato:

$l\frac{\lambda}{2}=2a \Longrightarrow \lambda=\frac{4a}{l}$

con l numero intero. Siccome $\omega=2\pi \frac{v}{\lambda}$ si ottiene per la pulsazione

$\omega=v \frac{l \pi}{2a}$

Considerando il caso tridimensionale, quello che si ottiene è che le frequenze di risonanza della cavità considerata sono date da:

$\omega= \frac{c}{\eta}\Big[(\frac{l\pi}{2a})^{2}+(\frac{m\pi}{2a})^{2}+(\frac{n\pi}{d})^{2}\Big]^{\frac{1}{2}}$

con l, m, m numeri interi.

Notando che $ω = k v$ dove k è il famoso vettore d'onda, possiamo risrivere la precedente come

$\omega= \frac{c}{\eta}\Big[(k_x)^{2}+(k_y)^{2}+(k_z)^{2}\Big]^{\frac{1}{2}}$

Si noti poi che per ogni terna (l, m, n) esistono due modi distinti: il trasversale elettrico e trasversale magnetico. Per modo si intende una particolare configurazione dei campi elettrico e magnetico che soddisfi la condizione di risonanza. Il modo trasversale elettrico è tale per cui in ogni punto della cavità il campo elettrico è diretto nella direzione perpendicolare a $\hat{z}$ ; il modo trasversale magnetico è tale per cui è il campo magnetico ad avere direzione perpendicolare a $\hat{z}$ per ogni punto.

Vogliamo ora calcolare qual è il numero di modi compresi tra 0 ed una generica frequenza $ω$ , cioè tali da avere un vettore d'onda compreso in modulo tra 0 e $\frac{\omega \eta}{c}$ .

Dunque ci mettiamo nello spazio delle fasi. Tutti i punti individuati da $(k x, k y, k z)$ che rispettano la condizione di risonanza formano un reticolo la cui cella unitaria ha dimensioni $(\frac{\pi}{2a}, \frac{\pi}{2a}, \frac{\pi}{d})$ . La condizione $0 \leq k \leq \frac{\omega \eta}{c}$

individua una sfera nello spazio delle fasi.

Ogni celletta ha contigui 8 modi (i vertici) e allo stesso tempo ogni vertice è condiviso da 8 cellette, concludiamo che si ha 1 modo per ogni cella (in realtà due perchè per ogni terna $(k x, k y, k z)$ c'è un modo trasversale elettrico e trasversale magnetico come visto più sopra).

E' facile adesso calcolare il numero di modi compresi all'interno della sfera, tenendo conto che siamo interessati ad un solo ottante perchè l,m,n sono numeri naturali e come tali positivi:

$N_{\omega}=\frac{\frac{1}{8} \frac{4}{3} \pi (\frac{\omega \eta}{c})^{3} }{\frac{\pi}{2a} \frac{\pi}{2a} \frac{\pi}{d}}*2$

cioè

$N_{\omega}=\frac{1}{3} \frac{\omega^{3} \eta^{3}}{c^{3} \pi^{2}} V$

dove V è il volume della celletta nello spazio delle fasi.

Per arrivare alla $ρ ω$ ci interessa valutare il numero di modi per unità di volume e di frequenza, quindi ci interessa

$p_{\omega}=\frac{1}{V} \frac{d N_{\omega}}{d \omega} = \frac{\omega^{2} \eta^{3}}{c^{3} \pi^{2}}$

A questo punto è semplice passare alla densita spettrale di energia, infatti è sufficiente moltiplicare la precedente per il valor medio dell'energia dei modi alla frequenza $ω$ . Proprio in questo passaggio arrivano i dolori per la fisica classica, che non riesce a spiegare l'andamento della distribuzione spettrale della radiazione emessa da un corpo nero.

Classicamente la distribuzione di energia e.m. presente nella cavità, e dovuta al moto di agitazione termica dei vari atomi delle pareti, deve essere la stessa di questa miriade di oscillatori armonici classici che si trovano ad una temperatura T. Prendiamo in considerazione una frequenza $ω$ , la meccanica statistica ci dice che la probabilità che uno di questi oscillatori alla frequenza $ω$ e temperatura T abbia energia compresa tra $E$ ed $E + d E$ è data dalla legge di Boltzmann:

$d P(E)=C e^{-\frac{E}{kT}} d E$

Quindi il valor medio dell'energia vale

$<E>=\frac{\int_0^{\infty}EC e^{-\frac{E}{kT}} d E}{\int_0^{\infty}C e^{-\frac{E}{kT}} d E}$

Poniamo $\beta= \frac{1}{kT}$ .

Si nota facilmente che

$-\frac{d}{d \beta} \ln \int_0^{\infty}e^{-\beta E} d E = \frac{1}{\int_0^{\infty}e^{-\beta E} d E} * \int_0^{\infty}Ee^{-\beta E} d E = <E>$

Quindi $<E>=-\frac{d}{d \beta} \ln \Big[-\frac{1}{\beta} e^{-\beta E}\Big]_0^{\infty}= -\frac{d}{d \beta} \ln (\frac{1}{\beta})= \frac{1}{\beta}=kT$

Per cui secondo la fisica classica

$\rho_{\omega}=p_{\omega}<E>=\frac{\omega^{2} \eta^{3}}{c^{3} \pi^{2}}kT$

La precedente è la formula classica di Rayleigh - Jeans e non riproduce affatto i dati sperimentali! Infatti la densita' spettrale di energia tende ad infinito per $ω$ tendente ad infinito e quindi per $λ$ tendente a zero. Questo è il così detto fenomeno della catastrofe ultravioletta. Inoltre si vede che integrando la densità spettrale di energia su tutte le frequenze possibili si ottiene una densità di energia infinita!

Ed è proprio qui che entra in gioco Plank. Egli supera i problemi della fisica classica supponendo che la radiazione e.m. sia quantizzata, cioè egli discretizza l'energia dei modi considerandola multipla di una quantità legata alla frequenza del modo stesso:

$E n = n h ν$

Allo stesso tempo egli introduce una nuova distribuzione di probabilità per cui la probabilità che il modo in questione possegga una energia $E n$ vale:

$P(E_n)=Ce^{\frac{-n \hbar \omega}{kT}}$

inoltre siccome l'energia è discretizzata gli integrali sono sostituiti da sommatorie e il valor medio dell'energia vale

$<E>=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}n\hbar \omega e^{\frac{-n \hbar \omega}{kT}}}{\sum_{n=0}^{\infty} e^{\frac{-n \hbar \omega}{kT}}}$

anche in questo caso si ha che

$<E>=-\frac{d}{d \beta} \ln \big[ \sum_{n=0}^{\infty}e^{-n \hbar \omega \beta}\big]$

la sommatoria che compare nella precedente è una serie geometrica di ragione $e^{-\hbar \omega \beta}$ per cui

$<E>=-\frac{d}{d \beta} \ln \big[\frac{1}{1-e^{-\hbar \omega \beta}}\big]=\frac{\hbar \omega}{e^{\hbar \omega \beta}-1}$

e finalmente riusciamo ad ottenere l'espressione della densità spettrale di radiazione del corpo nero:

$\rho_{\omega}=\frac{\hbar \eta^{3} \omega^{3}}{\pi^{2} c^{3} [e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}-1]}$

la precedente riproduce bene i dati sperimentali se

$h=2\pi \hbar=6.32 \cdot 10^{-34}\, J s$

Inoltre il numero medio di fotoni per modo è dato da

$\bar{q}=\frac{<E>}{h\nu}=\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}$

e per frequenze nel campo ottico $(\nu \simeq 10^{14}Hz)$ alla temperatura T=300 K vale $\bar{q} \simeq e^{-40}\simeq 10^{-18}$ .

Si capisce quindi che a temperatura ambiente l'emissione nella banda del visibile è ridicola.

Legge di Wien

La legge di Wien viene fuori andando a considerare per quale lunghezza d'onda si ha un massimo di emissione. Per fare questo bisogna prima passare all'espressione della distribuzione spettrale in funzione di $λ$ :

$\rho_{\omega} d \omega = \rho_{\omega} \frac{d \omega}{d \lambda} d \lambda = \rho_{\lambda} d \lambda$

$\omega=2 \pi \frac{c}{\lambda}$

$d \omega = -\frac{2 \pi c}{\lambda^{2}} d \lambda$

per cui

$\rho_{\omega} d \omega = \frac{\eta^{3}\frac{(2\pi c)^{3}}{\lambda^{3}}\hbar}{\pi^{2}c^{3}\big[e^{\frac{2 \pi \hbar c}{\lambda k T}}-1\big]}\Big(\frac{-2 \pi c}{\lambda^{2}}\Big)d \lambda$

e infine

$\rho_{\lambda} d \lambda = \frac{8 \pi h c \eta^{3}}{\lambda^{5}\big[e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1\big]} d \lambda$

Per semplificare i calcoli poniamo

$x=\frac{hc}{\lambda k T}$

e troviamo il massimo della funzione spettrale derivando rispetto ad x:

$\frac{d \rho_{\lambda}}{d x}=0 \Longrightarrow e^{-x}+\frac{x}{5}-1=0$

La precedente è un'equazione trascendente la cui soluzione è $x = x 0 = 4.9651$ , quindi

$\frac{hc}{\lambda_{max} k T}=x_0=cost$

e infine

$λ m a x T = b$

con b costante,

$b=2.8978 \cdot 10^{-3} mK$

La precedente esprime la legge di Wien per cui all'aumentare della temperatura il massimo di emissione si sposta verso lunghezze d'onda minori e quindi energie maggiori. Se ne deduce che al variare della temperatura del corpo varia il colore!

Introduciamo quindi il concetto di temperatura di colore, quale la temperatura cui corrisponde un ben determinato massimo di emissione. Questo è per esempio il metodo utilizzato per capire quale sia la temperatura di forni particolarmente potenti per i quali è chiaramente impossibile pensare all'utilizzo di un termometro.

Legge di Stefan - Boltzmann

La legge di Stefan - Boltzmann riguarda l'intensità di radiazione emessa, quindi iniziamo col calcolarci l'espressione della densità di energia integrando la densità spettrale di energia su tutta la banda di frequenze:

$\rho = \int_0^{\infty}\frac{\hbar \eta^{3} \omega^{3}}{\pi^{2} c^{3} [e^{\frac{\hbar \omega}{kT}}-1]} d \omega$

$x=\frac{\hbar \omega}{kT}$

$\rho = \frac{\eta^{3}(kT)^{4}}{\pi^{2} c^{3} \hbar^{3}} \int_0^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x}-1} d x$

L'integrale che compare nella precedente è noto e vale 6.4938. Quindi

$\rho= 7.5643 \Big( \frac{J K^{-4}}{m^{3}}\Big)\eta^{3}T^{4}$

La densità di energia è chiaramente una energia per unità di volume. L'intensità è una energia per unità di superficie e di tempo, quindi in pratica una densità per una velocità. Segue che la dipendenza da T non cambia e si può scrivere

$F (T) = σ T 4$

la precedente esprime la legge di Stefan - Boltzmann cercata. F è detta emittanza di radiazione, e $σ$ è la costante di Stefan - Boltzmann che vale

$\sigma= 5.6693 \cdot 10^{-8} \, W m^{-2} K^{-4}$

Si noti che l'intensità di emissione va con la quarta potenza della temperatura.

--Stefano Contini 16:50, 1 dic 2005 (CET)

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