Superconduttività

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La superconduttività o superconduzione è stata scoperta per la prima volta da H. K. Onnes, nel 1911, il quale notò che alcuni metalli assumevano resistenza nulla al passaggio di corrente elettrica, al di sotto di una certa temperatura.

La teoria generalmente accettata come spiegazione di tale fenomeno, nota come teoria BCS, dalle iniziali delle tre persone che hanno proposto questa teoria (Bardeen, Cooper, Schreiffer), spiega il fenomeno come dovuto alle interazioni degli elettroni col reticolo cristallino, risultanti in un effetto netto di attrazione tra gli elettroni con spin opposti. Essi formano delle coppie, dette coppie di Cooper, che si comportano come una particella di spin 0. Tutte le particelle di spin 0 sono bosoni, al pari dei fotoni, e tendono a raggrupparsi in un unico stato quantistico, con ampiezza di probabilità proporzionale a $\sqrt n$ , dove n è il numero di particelle nello stesso stato.

La probabilità che una tale coppia sia distrutta dai moti termici obbedisce alla distribuzione di Maxwell-Boltzmann, ed è quindi proporzionale a $e^{- \frac {E_{coppia}}{kT}}$ . L'energia di legame di queste coppie è normalmente molto bassa, tanto che per metalli normali bastano temperature di pochi kelvin per romperle. Quando però si è al di sotto della temperatura critica, ecco che tutti le coppie di elettroni hanno lo stesso stato quantistico, e sono dunque indistinguibili. Ora, dato che questi sono gli effetti netti dell'interazione tra elettroni e reticolo cristallino, in pratica è come se il reticolo non ci fosse, e si avesse una corrente libera di elettroni, che fluisce senza resistenza da parte del reticolo. Poiché l'energia di legame è piccola, la distanza tra gli elettroni in una coppia è ampia, tanto da superare la distanza media tra le stesse coppie. Non tutti gli elettroni liberi formano coppie, e il numero degli elettroni normali sarà tanto maggiore quanto più la T è vicina alla temperatura di superconduzione. Consideriamo il caso a temperatura pressoché nulla, per semplicità. Dato che la maggior parte delle particelle si trova nello stato a più bassa energia, ben presto la maggior parte degli elettroni converge nello stato di coppia non eccitata. In condizioni simili, detta ψ la funzione d'onda di Schrödinger, la densità di probabilità delle particelle nello stato descritto dall'equazione è proporzionale a ψψ^* (o |ψ|²). Se includiamo la costante di proporzionalità entro la funzione, possiamo assumere il prodotto come la densità di carica ρ. In un superconduttore, così come in un conduttore, la ρ si può considerare costante.

Si può dunque riscrivere il tutto in coordinate polari (r, θ) come

$\psi(\vec r) = \sqrt {\rho(\vec r)}e^{i \theta (\vec r)}$

dove il secondo termine è un fattore di fase. La legge di conservazione locale della probabilità impone che se la densità di probabilità P in una certa regione varia col tempo, ci deve essere un flusso: la particella non deve scomparire per riapparire altrove, ma deve muoversi con continuità. Questa non è nient'altro che una forma del teorema di Gauss, e quindi

$\frac {\partial P }{\partial t} = - \nabla \vec J$

e cioè che la derivata temporale della densità di carica sia pari all'inverso della divergenza corrente. Applicando la regola della derivata del prodotto a ψψ^*, sostituendo dapprima l'equazione di Schroedinger per una particella di massa m e carica q, in un potenziale V e potenziale vettore A

$- \frac \hbar i \frac {\partial \psi}{\partial t} = \frac 1 {2m} (\frac \hbar i \nabla - q\vec A)\dot(\frac \hbar i \nabla - q\vec A)\psi + q V\psi$

e poi facendo il cambio in coordinate polari, si ottiene

(1) $\vec J=\frac \hbar m(\nabla \theta - \frac q \hbar\vec A)\rho$

Considerando che J non è altro che ρ per il vettore velocità v, si può ottenere

$m \vec v= \hbar \nabla \theta - q \vec A$

[modifica] Effetto Meissner

Figura 1
Anello superconduttore.
Circuitazione intorno a una curva

Per approfondire, vedi la voce Effetto Meissner.

Se immergiamo un superconduttore in un campo magnetico, il campo non può penetrare all'interno: infatti, non appena vi penetrasse, si creerebbe una variazione di flusso del campo magnetico, e per la legge di Lenz, questo genererebbe un campo elettrico, orientato in modo tale da creare un campo magnetico contrario a quello originario. Dato che la resistenza di un superconduttore è nulla, anche un campo infinitesimo genererebbe all'interno del superconduttore una corrente abbastanza potente da annullare il campo magnetico. Quindi ogni variazione viene annullata.

Se invece immergiamo il materiale nel campo magnetico ad una temperatura maggiore della temperatura di superconduzione, e abbassiamo la temperatura fino alla superconduzione, ecco che il materiale espelle il campo magnetico. Infatti, per le leggi di Maxwell, in una situazione di campi stazionari, abbiamo che

$\nabla\vec J = 0$

in quanto non c'è alcun flusso di corrente. Senza perdere di generalità, possiamo considerare il potenziale vettore A, per cui vale sempre

$\nabla \vec A = 0$

Facendo la divergenza di (1), otteniamo

$\nabla\vec J=\nabla \frac \hbar m(\nabla \theta - \frac q \hbar\vec A)\rho$

e quindi, per quanto appena visto

$\rho (\frac \hbar m \nabla^2 \theta - \frac q \hbar \nabla \vec A)=0$

Sostituendo ed eliminando le costanti

$\rho \nabla^2\theta=0$

Ora, la densità di carica ρ in un superconduttore, per la sua peculiarità di amplificare enormemente le correnti infinitesime, deve essere pressoché costante. Se infatti così non fosse, l'accumulo di carica genererebbe una repulsione tra elettroni differente tra le varie zone, e dato che la resistenza è nulla, si creerebbero correnti interne, tali da ridisporre gli elettroni in maniera omogenea. Tutto ciò in una situazione stazionaria, ovvero quanto stiamo studiando. Quindi, se ρ è costante, l'unico modo per avere ∇²θ nullo è che θ sia costante. Questo implica, data la (1) che il potenziale non contribuisce al vettore J. Quest'ultimo è perciò proporzionale al potenziale vettore,

$\vec J = -k \vec A$

Le equazioni di Maxwell ci dicono

$\nabla^2\vec A=\frac 1 {\epsilon _0 c^2}\vec J$

sostituendo J

$\nabla^2\vec A=\lambda ^2 A$

con λ tale che

$\lambda ^2 = \rho \frac q {\epsilon _0 m c^2}$

dove q e m sono rispettivamente la carica e la massa dell'elettrone.

L'equazione differenziale data sopra, se consideriamo una sola dimensione radiale, ha come soluzione

$||\vec A|| = e^{- \lambda r}$

Scartiamo la soluzione con +λ in quanto il campo non può crescere. Possiamo dunque vedere che il campo penetra all'interno del conduttore solo per circa 1/λ lunghezze, nell'ordine dei nanometri per la maggior parte dei materiali.

[modifica] Bibliografia

(EN) J. R. Schrieffer. Theory of Superconductivity (Frontiers in Physics). New York, Benjamin-Cummings Publishing Company, 1988. ISBN 978-0805385014