Teorema dell'energia cinetica

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Il teorema dell'energia cinetica (o teorema delle forze vive) afferma che il lavoro L_AB compiuto da una qualunque forza risultante F su un corpo di massa m che si sposta dalla posizione r_A (al tempo t_A) alla posizione r_B (al tempo t_B) è dato dalla variazione dell'energia cinetica tra l'istante t_A e l'istante t_B

${{L}_{AB}} = {E}_{k}({t}_{B}) - E_k(t_A)= \Delta E_k = \frac {1}{2}m {v_B}^2 - \frac {1}{2}m {v_A}^2$

È importante sottolineare che il teorema vale anche per forze variabili con il tempo o con la posizione.

Il teorema è fondamentalmente una conseguenza del secondo principio della dinamica, che, per corpi di massa costante, è espresso dalla relazione

$\mathbf{F} = m \mathbf{a} = m \frac {\operatorname d \mathbf{v}}{\operatorname d t}$ .

Se si effettua in entrambi i membri il prodotto scalare per il vettore v, si ottiene

$\mathbf{F} \cdot \mathbf{v} = m \mathbf{v} \cdot \frac{\operatorname d \mathbf{v}}{\operatorname d t} = \frac {\operatorname d}{\operatorname d t}\left(\frac{1}{2}m v^2\right)$

Nell'ultimo passaggio è stata utilizzata la regola di derivazione del prodotto di funzioni ed il fatto che m è costante. Il primo membro di questa equazione rappresenta la potenza fornita dalla forza F, mentre il secondo la velocità di variazione dell'energia cinetica. Integrando questa relazione tra t_A e t_B si ottiene

$\int_{{t}_{A}}^{{t}_{B}} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v} \operatorname d t = \int_{{t}_{A}}^{{t}_{B}} \frac{\operatorname d}{\operatorname d t}\left(\frac{1}{2}m v^2 \right) \operatorname d t$ ;

ovvero

$\int_{\mathbf{r}_A}^{\mathbf{r}_B} \mathbf{F} \cdot \operatorname d \mathbf{r} = \frac {1}{2}m {v_B}^2 - \frac {1}{2}m {v_A}^2$ ,

essendo v_A = v(t_A), v_B = v(t_B).

In questo modo il teorema è dimostrato poiché il primo membro rappresenta esattamente il lavoro compiuto dalla forza F tra r_A e r_B.

[modifica] Nota sulla denominazione

Anticamente si definiva "vis viva", cioè "forza viva", il prodotto della massa per il quadrato della velocità. Da qui la denominazione di "teorema delle forze vive", usata su alcuni vecchi testi di fisica al posto della più recente denominazione di "teorema dell'energia cinetica".

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