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Teorema della probabilità assoluta - Wikipedia

Teorema della probabilità assoluta

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il teorema della probabilità assoluta afferma che se $\ A_1,\ldots,A_n$ formano una partizione dello spazio di tutti gli eventi possibili $\ \Omega$ (ossia $\ A_i\cap A_j=\varnothing\ \forall i,j$ e $\cup_{i=1}^n A_i=\Omega$ ) e $\ B$ è un qualsiasi evento, allora:

$\mbox{P}(B)=\sum_{i=1}^n\mbox{P}(A_i)\mbox{P}(B|A_i)$

[modifica] Dimostrazione

La dimostrazione di questo risultato segue immediatamente dal fatto che:

$\ B=(A_1\cap B)\cup(A_2\cap B)\cup\cdots\cup(A_n\cap B)$

dunque, per l'additività della probabilità:

$\ \mbox{P}(B)=\sum_i \mbox{P}(A_i\cap B)$

Ma poiché, in base alla definizione di probabilità condizionata: $\ \mbox{P}(A_i\cap B)=\mbox{P}(A_i)\mbox{P}(B|A_i)$ , si ha:

$\ \mbox{P}(B)=\sum_i \mbox{P}(A_i)\mbox{P}(B|A_i)$

come volevasi dimostrare.

[modifica] Voci correlate

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../t/e/o/Teorema_della_probabilit%C3%A0_assoluta.html"

Categorie: Statistica | Teoremi

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