Teoria dei caratteri

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La teoria dei caratteri è una branca della teoria delle rappresentazioni dei gruppi ed è molto usata in teoria dei numeri; in particolare è fondamentale per la dimostrazione del teorema di Dirichlet

-Se G è un gruppo abeliano (per esempio $Z_q^*$ ) allora $\chi : G \rightarrow C^*$ è un carattere di G se $χ$ è un omomorfismo

-Se G è un gruppo finito ciclico di ordine n generato da un suo elemento allora ha esattamente n caratteri

-Si dice carattere principale di G e si indica con $χ 0$ il carattere tale che $\chi_0\left(g\right)=1$ per ogni $g \in G$

denotando con g gli elementi di G si ha

$\chi\left(g^{-1}\right)=\overline{\chi}\left(g\right)$

$\chi\left(g_1\right)\chi\left(g_2\right)=\chi\left(g_1g_2\right)$

dove $g - 1$ è l'inverso moltiplicativo di g.

[modifica] Relazioni di ortogonalità

Due importanti relazioni riguardanti i caratteri sono

$\sum_{g}\chi\left(g\right)=\left\{\begin{matrix}n \ \mbox{se}\ \chi \ \mbox{=}\ \chi_0 \\ 0 \ \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right.$

$\sum_{\chi}\chi\left(g\right)=\left\{\begin{matrix}n \ \mbox{se}\ g \ \mbox{=}\ 1 \\ 0 \ \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right.$

[modifica] Dimostrazione delle relazioni di ortogonalità

La dimostrazione delle relazioni di ortogonalità segue dal fatto che $χ$ è un omomorfismo cioè moltiplicando ogni carattere della matrice

$\chi\left(g_1\right) \, \, \, \chi\left(g_2\right) \, \, \, \chi\left(g_3\right) \, \, \, ... \, \, \, \chi\left(g_n\right)$

per il carattere di un elemento qualsiasi si ottiene una permutazione della matrice stessa, ovvero denotando con g un elemento qualsiasi si ha

$\chi\left(gg_1\right) \, \, \, \chi\left(gg_2\right) \, \, \, \chi\left(gg_3\right) \, \, \, ... \, \, \, \chi\left(gg_n\right)=\pi\left(\chi\left(g_1\right)\right) \, \, \, \pi\left(\chi\left(g_2\right)\right) \, \, \, \pi\left(\chi\left(g_3\right)\right) \, \, \, ... \, \, \, \pi\left(\chi\left(g_n\right)\right)$

dove $π$ è una permutazione della matrice che dipende da g. Detto questo la prima relazione di ortogonalità si dimostra nel modo seguente se $χ = χ 0$ allora ogni addendo della sommatoria varrà 1 indipendentemente da g (in base alla definizione del carattere principale) e avendo G n caratteri principali si ha

$\sum_{g}\chi_0\left(g\right)=n$