Teoria di Iwasawa

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In teoria dei numeri, la Teoria di Iwasawa è una teoria che segue il modulo di Galois, appartenente ai gruppi delle classi ideali, proposta per la prima volta da Kenkichi Iwasawa negli anni '50 del XX secolo come parte della teoria dei campi ciclotomici. Nei primi anni '70, Barry Mazur prese in considerazione alcune generalizzazioni della Teoria di Iwasawa per arrivare alle teorie Abeliane. Più di recente, (primi anni '90), Ralph Greenberg ha proposto una Teoria di Iwasawa per i motivi in geometria algebrica.

[modifica] Formulazione

Il concetto di base della Teoria di Iwasawa è che esistono torri di campi relativi alla teoria algebrica dei numeri, e che il gruppo di Galois è isomorfico col gruppo additivo degli interi p-adici. Questo gruppo, generalmente indicato con Γ nella teoria e con notazione moltiplicativa, può essere indicato come un sottogruppo dei gruppi di Galois che trattano l'estensione a infinito dei campi (i quali sono per natura dei gruppi profiniti). Il gruppo $Γ$ è il limite inverso dei gruppi additivi $\mathbf Z/p^n \mathbf Z$ , dove p è il numero primo fisso e $n = 1,2, \cdots$ . Possiamo esprimere questo dualismo di Pontryagin in un altro modo: Γ è duale al gruppo discreto di tutte le elevazioni $p$ -esime della radice dell'unità nei numeri complessi.

[modifica] Esempio

Sia $ζ$ una radice primitiva $p$ -esima dell'unità e consideriamo la seguente torre di campi di numeri:

$K = \mathbf{Q} (\zeta) \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \cdots \subset \mathbf{C},$

dove $K n$ è il campo generato da una radice primitiva $p n + 1$ -esima dell'unità.

Questa torre di campi ha un'unione $L$ . Poi, il gruppo di Galois costituito da $L$ su $K$ è isomorfico con $Γ$ , perché il gruppo di Galois di $K n$ su $K$ è $\mathbf Z/p^n \mathbf Z$ .

Per ottenere un modulo di Galois interessante, Iwasawa prese il gruppo di classe ideale $K n$ , e chiamò $I n$ la sua parte $p$ -torsione. Esistono così mappe della norma $I_m \rightarrow I_n$ quando $m > n$ , e pertanto esiste anche un sistema inverso. Se chiamiamo $I$ il límite inverso, Si può dunque dire che $Γ$ attua in $I$ , ed è conveniente mantenere una descrizione di quest'azione.

La motivazione era indubbiamente che la $p$ -torsione nel gruppo di classe ideale $K$ già era stato identificato da Ernst Kummer come il principale ostacolo della dimostrazione diretta dell'ultimo teorema di Fermat. L'originalità della Teoria di Iwasawa è scappare verso l'infinito in una nuova direzione. In effetti $I$ è un modulo sull'anello del gruppo $\mathbf Z_p [\Gamma]$ . Questo è un anello ben definito (regolare e di due dimensioni), il che implica che è perfettamente possibile classificare dei moduli su di esso.

[modifica] Storia

Sin dall'inizio, negli anni '50, è stata costruita una teoria sostanziale. Una connessione fondamentale fu indicata tra la teoria dei moduli e le funzioni p-adiche in L, che furono definite negli anni '60 da Kubota e Leopoldt. Quest'ultimo cominciò dai numeri di Bernoulli, e fece uso dell'interpolazione per definire gli analoghi p-adici delle serie L di Dirichlet. Divenne subito chiaro che la teoria aveva modo di portare avanti i risultati di Kummer sui primi regolari.

La congettura sulla Teoria di Iwasawa fu formulata come l'affermazione che i due metodi usati per definire la serie L p-adiche (con la teoria dei moduli e con l'interpolazione) dovessero in ultima analisi coincidere, affinché la Teoria fosse ben definita. Questo fu provato da Barry Mazur e Andrew Wiles per $Q$ , e per tutti i campi di numeri interamente reali. da Andrew Wiles. Queste prove traevano spunto dalla dimostrazione di Ken Ribet della conversione al teorema di Herbrand (ribattezzato poi teorema di Herbrand-Ribet).

Più di recente, anche sull'onda del metodo di Ribet, Chris Skinner e Eric Urban hanno annunciato una dimostrazione relativa alla grande congettura per per GL(2). Una prova più elementare del teorema di Mazur-Wiles può essere ottenuta grazie al sistema di Eulero così come è stato sviluppato da Victor Kolyvagin.

[modifica] Bibliografia

Greenberg, Ralph, Iwasawa Theory - Past & Present, Advanced Studies in Pure Math. 30 (2001), 335-385. Available at [1].
Coates, J. and Sujatha, R., Cyclotomic Fields and Zeta Values, Springer-Verlag, 2006
Lang, S., Cyclotomic Fields, Springer-Verlag, 1978
Washington, L., Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd edition, Springer-Verlag, 1997
Barry Mazur and Andrew Wiles (1984). 'Class Fields of Abelian Extensions of Q'. Inventiones Mathematicae 76 (2): 179-330.
Andrew Wiles (1990). 'The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields'. Annals of Mathematics 131 (3): 493-540.
Chris Skinner and Eric Urban (2002). 'Sur les deformations p-adiques des formes de Saito-Kurokawa'. C. R. Math. Acad. Sci. Paris 335 (7): 581-586.