Triangolo iperbolico
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Nella geometria iperbolica, oltre alla nozione di triangolo chiuso euclideo, è introdotta una nuova figura piana chiamata triangolo aperto oppure biangolo, che gode di proprietà analoghe al triangolo chiuso euclideo.
Definizione di biangolo o triangolo aperto :Il triangolo aperto è una figura piana costituita da due semirette parallele AD e BC e dal segmento AB che unisce le loro origini. Il segmento AB è detto lato finito, mentre gli angoli del triangolo aperto sono gli angoli adiacenti a tale lato.
Due triangoli aperti hanno i lati infiniti corrispondenti congruenti.
Per quanto riguarda invece la congruenza tra triangoli aperti, valgono i seguenti teoremi:
Teorema I: Se due triangoli hanno congruenti il lato finito e uno dei due angoli, allora hanno congruente anche l’altro angolo.
Teorema II: Se due triangoli aperti hanno congruenti gli angoli, allora hanno congruenti anche il lato finito.
Teorema III: In un triangolo aperto un angolo esterno è maggiore dell’angolo interno non adiacente.
Dal teorema II si ricava che nella geometria iperbolica i triangoli aperti possono essere congruenti ma non simili. E dunque un triangolo aperto è individuato unicamente dai suoi angoli.
Il teorema III può considerarsi l’analogo del Teorema XXIX di Euclide, che è dimostrato utilizzando per la prima volta negli Elementi, il V Postulato.
In tutti i teoremi precedenti il XXIX, Euclide non utilizzano il V Postulato, pertanto hanno piena validità anche nella geometria iperbolica.
Tutti i teoremi degli Elementi di Euclide successivi al XXIX (fa eccezione solamente il teorema XXXI) utilizzano il Postulato delle Parallele, pertanto non possono essere validi nella geometria Iperbolica.
[modifica] Somma degli angoli interni di un triangolo e di un poligono
Nel 18° secolo Legendre dimostrò lo stretto legame esistente tra il Postulato delle parallele ed i teoremi relativi alla somma degli angoli interni di un triangolo, in particolare dimostrò il seguente teorema:
Teorema 1: La somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di due angoli retti.
Il teorema ha validità generale indipendentemente dal V Postulato, infatti Legendre dimostrò che se la somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo retto, allora vale il V Postulato di Euclide.
Da esso segue il teorema:
Teorema 2: La somma degli angoli di un quadrilatero è minore di quattro angoli retti.
I criteri relativi alla congruenza dei triangoli restano veri anche nella geometria iperbolica, ad essi si aggiunge un ulteriore criterio:
Teorema 3:Due triangoli che hanno i tre angoli congruenti sono congruenti
La dimostrazione è interessante infatti è effettuata per assurdo e verifica che se esistessero due triangoli simili non congruenti varrebbe il V postulato di Euclide.
[modifica] Difetto angolare
Definizione: Si dice difetto angolare di un triangolo ABC di angoli a, b, c , la differenza:
d(P)=2R-(a+b+c)
Proprietà 1 : Se un triangolo è diviso in due triangoli da una trasversale passante per uno dei vertici, il difetto angolare del triangolo è pari alla somma dei difetti angolari dei due sottotriangoli.
Generalizzando si ha che
Proprietà 2 : Se un triangolo è suddiviso in più triangoli in modo qualsiasi, il difetto angolare del triangolo è uguale alla somma dei difetti angolari di tutti i triangoli della suddivisione
Proprietà 3: Il difetto angolare di un poligono è dato dalla somma dei difetti angolari dei triangoli di una sua qualsiasi suddivisione.
In particolare una poligonale P di n lati, con somma degli angoli interni pari ad S vale:
d(P)=2(n-2)R-S
Come possiamo osservare il difetto angolare ha la proprietà di equi scomponibilità.