オイラーの五角数定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

オイラーの五角数定理（オイラー(Euler)のごかくすうていり）とは、単刀直入には次の無限積が（本質的に）テータ級数を与えるという内容である：

$\prod_{n=1}^{\infin}(1-x^n)=\sum_{n=-\infin}^{\infin}(-1)^nx^{n(3n-1)/2}$

右辺の級数の x のべきに五角数が現れるのでこの名がある。この級数がテータ級数になることは、 $x 1 / 24$ を掛けてみればわかる：

$x^{1/24}\sum_{n=-\infin}^{\infin}(-1)^nx^{n(3n-1)/2}=\sum_{n=-\infin}^{\infin}(-1)^nx^{(6n-1)^2/24}$

定理はオイラーが初めて発見し、証明を与えた。この発見には数の分割の研究が関係している。

オイラーは分割数p(n)を研究するうちに、次の母関数（生成関数、generating function）を発見した：

$\prod_{n=1}^{\infin}\frac{1}{1-x^n}=\sum_{n=0}^{\infin}p(n)x^n$

さて上式両辺に $\prod_{n=1}^{\infin}(1-x^n)$ をかけて、x のべきの係数を比較することにより分割数p(n)の漸化式を得ることができる：

$\prod_{n=1}^{\infin}(1-x^n)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+...$

となるから、n≧1 に対して

$0=p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)-...+(-1)^kp(n-\frac{3k-1}{2})+(-1)^k p(n-\frac{3k+1}{2})$

この定理は、他の多角数に対する次のような一般化が知られている：p>1 に対して

$\prod_{n=1}^{\infin}(1-x^{pn-(p-1)})(1-x^{pn-1})(1-x^{pn})=\sum_{n=-\infin}^{\infin}(-1)^nx^{n(pn-(p-2))/2}$

これは、いわば「（ｐ＋２）角数定理」とでも言うべき定理である。この公式に含まれていないが、三角数に対しても次のような類似の定理がある。

$\prod_{n=1}^{\infin}(1-x^n)^3=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n(2n+1)x^{n(n+1)/2}$

[編集] ヤコビの三重積による証明

$q = x 3 / 2, y = - x - 1 / 2$ と置き、ヤコビの三重積の公式により

$\begin{align} \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{(-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}} &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{q^{n^2}y^{n}}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{(1-q^{2m})(1+q^{2m-1}y)(1+q^{2m-1}y^{-1})}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{(1-x^{3m})(1-x^{(6m-3)/2}x^{-1/2})(1-x^{(6m-3)/2}x^{1/2})}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{(1-x^{3m})(1-x^{3m-2})(1-x^{3m-1})}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{(1-x^{m})}\\ \end{align}$

一般には $q = x p / 2, y = - x - (p - 2) / 2$ と置けば良い。三角数については

$T=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{q^{n(n+1)}y^{2n+1}}=2\sum_{n=0}^{+\infty}{q^{n(n+1)}y^{2n+1}}$

を考える。ヤコビの三重積の公式により

$\begin{align}T &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{q^{n(n+1)}y^{2n+1}}\\ &=y\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{q^{n^2} (qy^2)^{n}}\\ &=y\prod_{m=1}^{+\infty}{(1-q^{2n})(1-q^{2n}y^{2})(1-q^{2n-2}y^{-2})}\\ &=(y+y^{-1})\prod_{m=1}^{+\infty}{(1-q^{2n})(1+q^{2n}y^{2})(1+q^{2n}y^{-2})}\\ \end{align}$

これをyで微分し、虚数単位を代入すれば

$\frac{d}{dy}T(y)=(1-y^{-2})\prod_{m=1}^{+\infty}{(1-q^{2n})(1+q^{2n}y^{2})(1+q^{2n}y^{-2})}+(y+y^{-1})\frac{d}{dy}\prod_{m=1}^{+\infty}{(1-q^{2n})(1+q^{2n}y^{2})(1+q^{2n}y^{-2})}$