1の冪根

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数学において、1 の冪根（1 のべきこん、root of unity）あるいは 1 の累乗根（1 のるいじょうこん）とは、冪乗して 1 になる（冪単である）ような数のことである。

z n = 1 for some natural number n .

自然数 n に対し、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n 乗して初めて 1 になるような 1 の冪根は n 乗根として原始的 (primitive) であるという。自然数 n を固定せず、1 の原始 n 冪根あるいは 1 の原始 n 乗根として得られる数を総称して 1 の原始冪根（1 のげんしべきこん、primitive root of unity）あるいは 1 の原始累乗根という。

[編集] 1 の原始冪根

複素数の範囲での 1 の原始 n 乗根は 1 つではない。ド・モアブルの定理より、1 の原始 n 乗根の一つは

$\xi_n = \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

で与えられることが分かる。この時、ξ_n の共役複素数 ξ_n も 1 の原始 n 乗根である。あるいは、n と互いに素な自然数 m に対して ξ_n^m もやはり 1 の原始 n 乗根である。

方程式 xⁿ = 1 を考える。この方程式の根は、ド・モアブルの定理より、

$x = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right) \quad (0\le k \le n-1)$

であるが、1 の原始 n 乗根 ξ_n を一つ選べば、

$x = {\xi_n}^k \quad (0\le k \le n-1)$

と書くことができる。

[編集] 1 の原始冪根の例

以下、i は虚数単位である。

ξ₂ = -1
ξ₃ = $\frac{-1 \pm \sqrt{3} i}{2}$ 　（しばしば ω と書かれる）
ξ₄ = ±i

[編集] 性質

1 の冪根は全て、ガウス平面における単位円上にある。また概要で述べたことは 1 の n 冪根の全体が位数 n の巡回群となることを示している。
a を複素数とするとき、a の n 乗根を任意に一つ選んで ⁿ√a と記せば、1 の n 乗根に各々 ⁿ√a を掛けたものが複素数係数の方程式 xⁿ − a = 0 の根の全体となる。
1 の n 乗根をガウス平面上に表し、直線で結ぶと単位円に内接する正 n 角形となる。これは 1 以外の 1 の原始 n 乗根の一つを ξ_n として以下の式が成り立つことと同じである：

$\sum_{k=0}^{n-1}\xi_n^k =1+\xi_n+\xi_n^2+\cdots+\xi_n^{n-2}+\xi_n^{n-1}=0$ .