3대 작도 불가능 문제

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3대 작도 불가능 문제(３大作圖不可能問題)는 고대 그리스 시대부터 내려온 세 가지 작도 문제이다. 오랜 시간 동안 많은 사람들이 풀이를 구하려고 했으나 성공하지 못했고, 19세기에 들어와서 세 가지 문제 모두 작도가 불가능하다는 것이 증명되었다. 세 가지 문제는 다음과 같다.

주어진 각을 삼등분하는 문제
주어진 정육면체의 2배 부피를 가지는 정육면체를 작도하는 문제
주어진 원과 같은 넓이를 가지는 정사각형을 작도하는 문제

[편집] 주어진 각을 삼등분하는 문제

각의 삼등분 문제는 절대값이 1인 임의의 복소수의 삼중근을 구하는 문제와 같으므로 눈금없는 자와 컴파스를 이용하여 작도할 수 없다.

종이 위에 그린 각을 삼등분하는 문제의 경우 종이를 접으면 삼등분이 가능하지만, 이것은 원래 문제의 조건을 벗어나므로 해가 될 수 없다.

[편집] 주어진 정육면체의 2배 부피를 가지는 정육면체를 작도하는 문제

이 문제는 흔히 델로스의 문제라고도 부른다. 전설에 따르면 기원전 430년, 아테네 시민들이 전염병을 없애려면 어떻게 해야 하냐고 델로스의 아폴로 신탁에 물었을 때, '제단을 두 배로 만들라'는 답을 들었다고 한다. 이에 아테네 시민들이 제단의 각 변을 두 배로 늘려서 만들었는데도, 전염병이 수그러들지 않았다. 왜냐하면 신탁의 답변은 제단의 길이를 두배로 늘리는 것이 아니라 제단의 부피를 두 배로 늘리라는 것이었기 때문이다.

원래 정육면체의 부피를 V라고 한다면, 2V의 부피를 가지는 정육면체는 원래 정육면체보다 변의 길이가 $\sqrt[3]{2}$ 배가 되어야 한다. $\sqrt[3]{2}$ 는 작도가능한 수가 아니므로, 이 문제는 눈금없는 자와 컴파스로는 해결할 수 없다.