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Oilerio formulė - Vikipedija

Oilerio formulė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.

Oilerio formule vadinama formulė $\mathsf{e}^{i \phi} = \cos( \phi ) + i \sin( \phi )$ , čia i – tariamasis vienetas.

Įdomu pastebėti, kad $| \mathsf{e}^{i \phi} | = 1$ .

Iš formulės išplaukia, kad $\mathsf{e}^{i \phi} = \mathsf{e}^{i ( \phi + 2 \pi ) }$ .

Pasiūlė Leonardas Oileris.

[taisyti] Įrodymas

Pasižymime $z = cos x + i sin x$ , randame šio dydžio diferencialą:

$\mathsf{d}z = ( -\sin x + i \cos x ) \mathsf{d}x = (i \cos x + i^2 \sin x ) \mathsf{d}x = iz \mathsf{d}x$

Lygtį galime perrašyti taip:

$\frac{\mathsf{d}z}{z} = i \; \mathsf{d}x$

Abi puses suintegruojame:

$\int \frac{\mathsf{d}z}{z} = i \int \mathsf{d}x$

$\ln z = ix + C \quad$

Konstantos $C$ vertę gauname paėmę $x = 0$ , tada $z = 1$ , $C = ln1 = 0$ , taigi:

$\ln z = ix \quad$ .

Iš čia:

$\mathsf{e}^{ix} = z$

$\mathsf{e}^{ix} = \cos x + i \sin x$

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.

Rodomas puslapis "http://lt.wikipedia.org../../../o/i/l/Oilerio_formul%C4%97.html"

Kategorija: Matematinė analizė

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