Pí

Úr Wikipediu, frjálsa alfræðiritinu

Litla π

Vegna tæknilegra takmarkana er titillinn á grein þessari rangur. Rétti titillinn er π.

Sjá aðgreiningarsíðuna fyrir yfirlit yfir aðrar merkingar „Pí“

Talan π (gríski stafurinn „pí“), er skilgreind sem hlutfallið milli þvermáls hrings og ummáls hans í Evklíðsku rúmi. Einnig er π jafnt flatarmáli hrings sem hefur radíusinn 1 og ennfremur jafnt hálfu ummáli sama hrings. Flest nútímarit skilgreina π á fágaðan máta með hornaföllum, t.d. sem minnsta mögulega jákvæða x þar sem sin(x) = 0, eða sem tvöfallt minnsta mögulega jákvæða x þar sem cos(x) = 0. Allar ofangreindu skilgreiningarnar eru jafngildar.

π er einnig þekkt sem fasti Arkímedesar (ekki skal því ruglað saman við Tölu Arkímedesar), fasti Ludolphs eða tala Ludolphs. π er ekki eðlislægur fasti í náttúrunni, heldur stærðfræðilegur fasti sem er skilgreindur óháð öllum eðlisfræðilegum mælingum.

[breyta] Saga π

Notkun táknsins „π“ fyrir tölu Arkímedesar kom fyrst fram árið 1706 þegar William Jones gaf út bókina A New Introduction to Mathematics, þó að sama tákn hafi áður verið notað til þess að tákna ummál hrings. Táknið varð að staðli þegar Leonhard Euler tók það upp. Í báðum tilfellum er π fyrsti stafurinn í gríska orðinu περιμετροσ (perimetros), sem þýðir ummál.

[breyta] Ágrip af sögu π

20. öld fyrir krist: Babýlóníumenn nota $\pi = 3 \frac{1}{8}$ .
20. öld fyrir krist: Egyptar nota $\pi = \left (\frac{16}{9} \right)^2$ .
12. öld fyrir krist: Kínverjar nota $π = 3$ .
434 fyrir krist: Anaxagóras reynir að búa til ferning hrings með reglustiku og sirkli.
3. öld fyrir krist: Arkímedes finnur út að $\frac{223}{71} \le \pi \le \frac{22}{7}$ , og að $\pi \approx \frac {211875}{67441}$ .
20 fyrir krist: Vitrúvíus notar $\pi = \frac{25}{8}$
2. öld: Ptolemaíos notar $\pi = \frac{377}{120}$ .
3. öld: Chang Hong notar $\pi = \sqrt{10}$ , Wang Fau notar $\pi = \frac{142}{45}$ , og Liu Hui notar $\pi = \frac{471}{150}$ .
5. öld: Zǔ Chōngzhī ákvarðar $3.1415926 \le \pi \le 3.1415927$ .
6. öld: Aryabhata og Brahmagupta í Indlandi nota $\frac{62832}{20000}$ og $\pi \approx \sqrt{10}$ .
9. öld: Al-Khwarizmi notast við $π = 3.1416$ .
1220: Fibonacci notar gildið $π = 3.141818$ .
1430: Al-Kashi reiknar 14 aukastafi $π$ .
1573: Valenthus Otho reiknar 6 aukastafi $π$ .
1593: François Vieta reiknar 9 aukastafi $π$ , og Hollendingurinn Adriaen van Roomen reiknar 15 aukastafi.
1596: Ludolph van Ceulen reiknar 35 aukastafi $π$ .
1665: Isaac Newton reiknar 16 aukastafi.
1699: Sharp, 71 aukastafur.
1700: Seki Kowa, 10 aukastafir.
1706: Machin, 100 aukastafir.
1719: De Lagny reiknar 127 aukastafi, af þeim eru 112 réttir.
1723: Takebe reiknar 41 aukastaf.
1730: Kamata, 25 aukastafir.
1734: Euler gerir táknið π vinsælt.
1739: Matsunaga, 50 aukastafir.
1761: Johann Heinrich Lambert sannar að $π$ sé óræð tala.
1775: Euler bendir á möguleikann að $π$ sé torræð tala.
1794: von Vega reiknar 140 aukastafi. Af þeim eru 136 réttir.
1794: Adrien-Marie Legendre sýnir að bæði $π$ og $π 2$ séu óræðar, og bendir á möguleikann að $π$ sé torræð.
1824: Rutherford reiknar 208 aukastafi, þar af eru 152 réttir.
1844: Strassnitzky reiknar 200 aukastafi.
1847: Thomas Clausen, 248 aukastafir.
1853: Lehmann, 261 aukastafur.
1853: Rutherford, 440 aukastafir.
1855: Richter, 500 aukastafir.
1874: Shanks, 707 aukastafir. Þar af eru 527 réttir.
1882: Ferdinand Lindemann sýnir að pí sé torræð tala.