Lemma ta’ Borel-Cantelli
Minn Wikipedija, l-enċiklopedija ħielsa.
Il-Lemma ta’ Borel-Cantelli hu riżultat fit-teorija tal-probabbiltà u t-teorija tal-miżura fundamentali għall-prova tal-liġi qawwija tan-numri kbar. Il-lemma msemmija għal Émile Borel u Francesco Paolo Cantelli.
- Lemma ta’ Borel-Cantelli
Ħalli ikun spazju tal-miżura u tkun suċċessjoni ta’ sottosettijiet miżurabbli ta’ Ω. Imbagħad għandna:
fejn hu l-limitu superjuri tas-suċċessjoni Sn:
- Prova
- Bil-monotonija ta’ μ, għandna
- Issa bis-subadditività:
- Għalhekk billi ta' l-aħħar hu l-limitu tal-bqija ta’ serje konverġenti, għandna
In partikulari, fi spazju tal-probabbiltà , għal suċċessjoni ta’ ġrajjiet , għandna:
Fil-każ ta’ spazji tal-probabilità, hi veru wkoll il-propożizzjoni li ġejja (spiss jgħidulha "it-tieni lemma ta’ Borel-Cantelli"):
- u En huma indipendenti
- Prova ta’ l-asserzjoni 2
-
- Issa bl-indipendenza u d-diżugwaljanza ;
- billi s-somma tiddiverġi u hekk l-esponenzjali tersaq lejn 0. Għalhekk:
Fi kliem ieħor jekk suċċessjoni ta’ ġrajjiet għandha probabbiltà sommabbli, kważi żgurament, in-numru ta’ drabi li jiġru hu infinit. Jekk minflok il-probabilità mhux sommabili u l-ġrajjiet huma indipendenti kważi żgurament in-numru ta’ drabi li jiġru hu finit. In partikulari f’numru infinit ta’ provi indipendenti kull ġrajja b’probabbiltà pożittiva tiġri numru infinit ta’ drabi.