Differentiaalrekening

Van Wikipedia

Differentiaalrekening is een wiskundige rekenmethode voor het vaststellen van de veranderingen die functies ondergaan als er in hun argumenten oneindig kleine veranderingen (differenties) optreden.

De differentiaalrekening is oorspronkelijk door Isaac Newton ontwikkeld omdat hij deze nodig had voor de zijn theorie van de mechanica. Het principe van de differentiaalrekening laat zich het eenvoudigste uitleggen aan de hand van een voorbeeld. De snelheid van een beweging is de weg die in een bepaalde tijd wordt afgelegd gedeeld door die tijd: wie in een uur honderd kilometer aflegt rijdt honderd kilometer per uur. Althans gemiddeld. Maar hoe komen wij nu de snelheid te weten als die varieert? Om de snelheid op één bepaald moment te weten te komen moet de afstand worden bepaald die in zeer korte tijd wordt afgelegd. Dat levert een breuk op met een heel kleine noemer en een heel kleine teller, met als regel een niet heel kleine coëfficiënt. Wie 28 mm in een milliseconde aflegt rijdt nog steeds 100 km/u. In de differentiaalrekening wordt vervolgens een limietovergang toegepast door het tijdinterval naar nul te laten naderen. In een experiment kan het tijdsinterval niet willekeurig klein worden gekozen: daar zijn technische grenzen aan. Wanneer de afgelegde weg echter als een wiskundige functie van de tijd wordt geschreven, dan is dat wel mogelijk: dan kan het differentiaalquotiënt worden bepaald, in dit geval van tijd en afstand.

Grafisch is het differentiaalquotiënt voor te stellen als de helling van een kromme in een bepaald punt. Meetkundig is die helling voor te stellen als de helling van een raaklijn - en een raaklijn is een lijn die denkbeeldig geconstrueerd kan worden door een lijn door twee punten op die kromme te trekken en de afstand tussen die twee punten tot nul te laten naderen.

Het belang van de differentiaalrekening is vooral dat allerlei natuurkundige verschijnselen (bijvoorbeeld in de mechanica en de elektriciteitsleer) zich laten beschrijven door differentiaalvergelijkingen. Ook kan de differentiaalrekening worden gebruikt om te bepalen waar een functie extreme waarden bereikt, want daar loopt de raaklijn horizontaal en is het differentiaalquotiënt dus nul.

Integraalrekening en differentiaalrekening worden samen wel omschreven als infinitesimaalrekening, een onderdeel van de 'hogere wiskunde'.