Negatief grondtal
Van Wikipedia
Een talstelsel kan een negatief grondtal hebben. Deze talstelsels zijn voor het eerst beschreven door Vittorio Grunwald in zijn werk Giornale di Matematiche di Battaglini uit 1885. Naderhand zijn negatieve talselsels herontdekt door A. J. Kempner in 1936 en Z. Pawlak and A. Wakulicz in 1959.
Met een negatief talstelsel is het mogelijk positieve en negatieve getallen te laten zien zonder een minteken te gebruiken.
Bijvoorbeeld met grondtal = -2
11 = 1 × -21 + 1 × -20 = - 2 + 1 = -1 111 = 1 × -22 + 1 × -21 + 1 × -20 = 4 - 2 + 1 = 3 101 = 1 × -22 + 0 × -21 + 1 × -20 = 4 + 0 + 1 = 5
Dit werkt niet alleen met -2, maar met elk negatief geheel getal dat geen -1 is.
Dat het systeem tot dusver niet toegepast wordt, heeft te maken met de "springerige" aard van de opeenvolgende waarden. Zo hebben de eerste 16 waarden van met het grondtal -2 achtereenvolgens de volgende decimale waarden (rij A053985 in OEIS):
- 0, 1, -2, -1, 4, 5, 2, 3, -8, -7, -10, -9, -4, -3, -6, -5
Het aantal getallen dat uit te drukken is met een negatief grondtal, is de helft van het aantal getallen dat is uit te drukken met een positief grondtal. Alle waarden komen namelijk 2 keer voor bij een negatief grondtal, en één keer bij een positief grondtal. In het talstelstel bij grondtal -2 is dit goed te zien:
01 = 1 11 = -1 -01 = -1 -11 = 1
Zelfde waarden bij grondtal 2:
01 = 1 11 = 3 -01 = -1 -11 = -3
Voor beide systemen geldt: Het aantal mogelijke getalen is aftelbaar oneindig: 
Opmerkelijk is dat de lijn door de x-as gaat bij de positieve vorm van iedere macht van het grondtal. Bij grondtal -2 krijst de lijn op 2, 4, 8, 16, 32, ... . Bij grondtal -10 gebeurt dat bij 10, 100, 1000, ... .
Mogelijke toepassingen van dit soort getallen zijn te vinden in bijvoorbeeld de cryptografie en bij systemen waar alleen cijfers gebruikt kunnen worden (zonder tekens als de -).
