Ongelijkheid

Van Wikipedia

Een ongelijkheid is in de wiskunde een relatie die iets zegt over de relatieve grootte van twee wiskundige objecten. Ongelijkheden berusten op de relatie "kleiner dan", genoteerd als "<", die aangeeft dat wat links van het ongelijkteken staat kleiner is dan wat rechts staat.

[bewerk] Definitie

Van twee reële getallen a en b zeggen we dat a kleiner is dan b, genoteerd als "a < b", als er een positief getal c is, zodat a + c = b.

[bewerk] Notatie

• We schrijven in plaats van: a < b, ook: b > a, en zeggen: b is groter dan a.
• Voor a < b of a = b, schrijven we kort: a ≤ b en zeggen: a is kleiner of gelijk aan b.
• Voor a > b of a = b, schrijven we kort: a ≥ b en zeggen: a is groter of gelijk aan b.

Binnen de verzameling van de reële getallen kunnen we bijvoorbeeld stellen dat a > 2 of b < c. Deze ongelijkheden drukken uit dat a groter is dan 2, resp. b kleiner is dan c. De relaties < en > worden strikt genoemd, in tegenstelling tot en . (kleiner resp. groter of gelijk aan)

• Voor alle reële getallen a en b, is voldaan aan juist een van volgende drie mogelijkheden:
  • a < b
  • a = b
  • a > b

Om ongelijkheden in een makkelijker berekenbare vorm om te zetten, bestaan voor de basisbewerkingen enkele rekenregels:

• Optelling en aftrekking van reële getallen a, b en c:
  • Als a < b, dan geldt: a + c < b + c en a − c < b − c

• Vermenigvuldiging en deling van reële getallen a en b, en c ≠ 0.
  • Met c positief en a < b, geldt: ac < bc en a / c < b / c
  • Met c negatief en a < b, geldt: ac > bc en a / c > b / c

• Eenvoudig te onthouden is dat de ongelijkheid omgedraaid wordt wanneer:
  • Men beide leden vermenigvuldigt met of deelt door een negatief getal.
  • Men beide leden omkeert: bv.

Ongelijkheden worden theoretisch vaak gebruikt om een boven- of ondergrens te bepalen voor grootheden, die niet eenvoudig berekenbaar zijn. Belangrijkste voorbeelden uit de maattheorie zijn de driehoeksongelijkheid, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, en ongelijkheid van Hölder, in de statistiek de ongelijkheden van Markov, Chebyshev en Cramér-Rao. In de praktijk komen ongelijkheden vrijwel altijd voor om voorwaarden op te leggen aan bepaalde onbekenden bij het oplossen van een systeem vergelijkingen.