Ordinaal getal

Van Wikipedia

Een ordinaal getal geeft de positie van een element in een rij van elementen aan.

De ordinale getallen zijn een uitbreiding van de natuurlijke getallen. Ze werden ingevoerd door Georg Cantor, toen hij besefte dat het noodzakelijk was om aan te kunnen geven hoe geordende verzamelingen zich tot elkaar verhouden.

[bewerk] Verzamelingen en ordening

Cantor was een van de wiskundigen die veel werk heeft gestoken in het verenigen van delen van de wiskunde. Met name heeft hij gewerkt aan het verenigen van de verzamelingenleer en de rekenkunde. Hij besefte dat het mogelijk was om ieder natuurlijk getal weer te geven in termen van verzamelingen:

0 = {}
1 = {0} = {{}}
2 = {0, 1} = { {}, {{}} }
3 = {0, 1, 2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} }
enzovoorts.

De bovenstaande structuur brengt onder meer tot uitdrukking dat de natuurlijke getallen gevormd worden door het concept "nul" en het concept "de opvolger van getal a". Ook maakt de bovenstaande structuur duidelijk dat het bestaan van de getallen het mogelijk maakt om te spreken over grootte van een getal (de cardinaliteit) en de volgorde van een getal (de orde of ordinaliteit).

Cardinaliteit gaat over de grootte van verzamelingen. Ieder getal is, zoals hierboven voorgesteld, een verzameling. Ieder getal heeft een cardinaliteit.

Ordinaliteit gaat over de volgorde in de rij. Specifiek gaat het over de ordening van totaal geordende verzamelingen, want ieder getal is -- zie weer de voorstelling hierboven -- een totaal geordende verzameling.

[bewerk] Ordinalen en oneindige verzamelingen

Ordinalen van eindige verzamelingen zijn gewoon natuurlijke getallen. De ordinaal van {} is bijvoorbeeld 0, de ordinaal van {{}} is 1.

Wat is dan de ordinaal van $\N$ ? Net als bij cardinaliteit wordt die ordinaal uitgedrukt met een speciaal symbool: ω.

Op dit punt wijken ordinaliteit en cardinaliteit van elkaar af. De cardinaliteit van $\N$ is $\aleph_0$ en $\aleph_1$ is de cardinaliteit van $\R$ . De ordinaal $ω + 1$ hoort echter niet bij $\R$ , maar bij $\N + \{\omega\}$ . $ω + 2$ is dan weer de ordinaal van $\N + \{\omega, \omega + 1\}$ .