Residu (wiskunde)
Van Wikipedia
Residu rekenen is een onderdeel van de complexe analyse die gebruikt wordt bij integraalrekening.
Inhoud |
[bewerk] Residu
Laat 
de Laurentontwikkeling zijn in het punt z0, dan noemen we a − 1 het residu van f op z0 en noteren dat als: 
.
[bewerk] Stelling
Laat z0 een geïsolleerde singulariteit zijn van f, en C een kleine cirkel met de klok mee georiënteerd met middelpunt z0 z.d.d. f is differentieerbaar op C en het inwendige van C, m.u.v. het punt z0 zelf. Dan:
[bewerk] Residu Formule
Laat U een open verzameling, en γ een gesloten ketting in U zijn. Laat f analytisch zijn op U op een eindig aantal punten na (z1,z2,...,zn). Laat mj het aantal windingen zijn van γ tenopzichte van het j-de punt. Dan:
[bewerk] Rekenregels voor Residuen
Regel 1: Stel f heeft een singulariteit in z0 en g is holomorfisch op z0 dan: 
Voorbeeld: Vind het residu van 
Kies dan twee functies g en h: 
en 
Hier volgt dan uit: 
Regel 2: Stel f(z) = 0, maar 
. Dan heeft 1 / f een orde 1 pool in z0 en z0 heeft een residu van 1 / f gelijk 1 / f'(z0)
Voorbeeld: Vind het residu van f(z) = sin(z) in z = π. Dan volgt daaruit dat het residu 1 / sin(z) = 1 / cos(π) = − 1
