Stelling van Taylor
Van Wikipedia
De stelling van Taylor, geformuleerd door Brook Taylor in 1715, geeft aan hoe we een functie in de omgeving van een punt door een middel van een polynoom kunnen benaderen. De coëfficiënten van de polynoom worden bepaald uit de afgeleiden van de functie in dat punt.
[bewerk] Definitie
Voor een functie f waarvan de ke afgeleide, aangegeven met f (k), bestaat en continu is op het interval [x0, x] geldt dat er een getal c, a < c < b, bestaat, zo dat
waarin Rk de restterm van Schlömilch: 
met p > 0.
Voor p = 1 vinden we de restterm van Cauchy:
Voor p = k vinden we de restterm van Lagrange:
c hangt van p af, en is dus niet noodzakelijk gelijk in beide laatste vormen.
[bewerk] Benaderingen
Voor veel functies vinden we in de buurt van x0 al een bruikbare benadering met kleine k en verwaarlozing van de restterm.
Zo is de 0e-orde Taylorontwikkeling:
,
dus als benadering voor f in de buurt van x0 wordt de waarde van f in x0 zelf genomen.
De 1e-orde ontwikkeling is:
,
wat een benadering door een rechte lijn, de raaklijn aan de grafiek van f in x0, inhoudt.
De 2e-orde ontwikkeling benadert f door een kwadratische vorm:
,
en houdt dus rekening met een 2e-graads kromming van f in x0.
[bewerk] Voorbeelden
Een benadering van ex wordt verkregen door in de bovenstaande formule x0 = 0 te stellen, en te gebruiken dat de afgeleide van ex gelijk is aan zichzelf, en voor x=0 gelijk is aan 1:
Niet bij elke functie lukt zo'n benadering, b.v. van de functie
voor x ≠ 0 en f (0) = 0
zijn alle afgeleiden nul voor x = 0. De functiewaarde zit geheel in de restterm, wat de stelling voor deze functie onbruikbaar maakt.
