Trisectricestelling van Morley

Van Wikipedia

De driehoek van Morley

Meer driehoeken van Morley

De Trisectricestelling van Morley luidt:

Maak in een driehoek de halfrechten die de hoeken van die driehoek in drie gelijke delen verdelen, de trisectrices. Neem bij elke zijde vanuit de hoekpunten de twee aanliggende trisectrices, en neem hun snijpunt. De drie snijpunten vormen dan een gelijkzijdige driehoek, de driehoek van Morley genoemd.

Frank Morley bewees deze stelling in 1899. Hij is uit te breiden door in plaats van de trisectrices van de binnenhoek, de trisectrices van de buitenhoek te nemen. Door verschillende combinaties te gebruiken zijn 18 driehoeken van Morley te vormen, waarvan enkele uit nevenstaande figuur kunnen worden afgelezen.

[bewerk] Eigenschappen van de driehoek van Morley

Een lijn $\ell$ is evenwijdig met een zijde van de driehoek van Morley dan en slechts dan als de som van de gerichte hoeken

$\angle(\ell,BC) + \angle(\ell,AC) + \angle(\ell,AB) \equiv 0 \left(\mod \pi\right)$

De barycentrische coördinaten van de hoekpunten van de driehoek van Morley zijn:

$A' = \left( a : b\cos\left(\frac {\gamma}3\right) : c\cos\left(\frac {\beta}3\right) \right),$

$B' = \left( a\cos\left(\frac {\gamma}3\right) : b : c\cos\left(\frac {\alpha}3\right) \right),$

$C' = \left( a\cos\left(\frac {\beta}3\right) : b\cos\left(\frac {\alpha}3\right) : c \right).$

Het zwaartepunt van deze gelijkzijdige driehoek wordt het eerste Morley punt genoemd. Het heeft barycentrische coördinaten

$\left( a\left(\cos\left(\frac {\alpha}3\right) +\cos\left(\frac {\beta}3\right) \cos\left(\frac {\gamma}3\right)\right) : b\left(\cos\left(\frac {\beta}3\right) +\cos\left(\frac {\alpha}3\right) \cos\left(\frac {\gamma}3\right)\right) : c\left(\cos\left(\frac {\gamma}3\right) +\cos\left(\frac {\alpha}3\right) \cos\left(\frac {\beta}3\right)\right) \right).$

De driehoek van Morley is perspectief met ABC. Het perspectiviteitscentrum wordt het tweede Morley punt genoemd en heeft barycentrische coördinaten

$\left( \sin \alpha \sec\left(\frac {\alpha}3\right):\sin \beta \sec\left(\frac {\beta}3\right):\sin \gamma \sec\left(\frac {\gamma}3\right)\right).$

[bewerk] Lengte van de zijde

Als we R schrijven voor de straal van de omgeschreven cirkel, dan is de lengte van de zijden van de driehoek van Morley gelijk aan
$8R\sin\frac{\alpha}{3}\sin\frac{\beta}{3}\sin\frac{\gamma}{3}$