Windingsgetal
Van Wikipedia
Het windingsgetal van een kromme is een begrip uit de meetkunde. Het geeft aan hoe vaak een gesloten vlakke kromme om een gegeven punt heendraait. Meestal kiest men als referentiepunt de oorsprong van een rechthoekig coördinatenstelsel. Een synoniem van windingsgetal is index.
[bewerk] Definities
Zij f=(f1,f2) een gesloten gladde kromme in het (X,Y)-vlak die de oorsprong mijdt, d.w.z.
-
![f:[0,1]\to\mathbb{R}^2](../../../math/8/3/a/83a2adfcd23d164255a8a0817c1a87fd.png)
is differentieerbaar, f(0) = f(1)![\forall t\in[0,1]:f(t)\neq(0,0)](../../../math/6/e/c/6ecc1cf5c3b86f75842e7657ce5404b7.png)
Dan is het windingsgetal van f gelijk aan de integraal van de georiënteerde hoeksnelheid van f omheen de oorsprong. We drukken de hoek uit in omwentelingen in plaats van radialen, zodat we nog moeten delen door 2π:
(in de teller van de breuk staat de grootte van het uitwendig product van f en haar afgeleide).
Bovenstaande formule wordt eleganter in het complexe vlak, omdat we dan gebruik kunnen maken van de definitie van het quotiënt van complexe getallen:
Abstracter is het windingsgetal de klasse van f in de fundamentaalgroep 
, als we afspreken dat de eenheid van die groep overeenkomt met het doorlopen van de eenheidscirkel in tegenwijzerzin. Deze abstracte definitie gaat nog altijd door als f niet noodzakelijk differentieerbaar, maar slechts continu is.
Het windingsgetal van een gesloten kromme f ten opzichte van een willekeurig punt p (dat niet op de kromme ligt) bekomen we door f te verschuiven over een vector -p:
- W(f,p): = W(f − p)
[bewerk] Toepassing in de informatica
In de computergrafiek is het windingsgetal een techniek om na te gaan of een gegeven punt binnen of buiten een gegeven veelhoek ligt. Zij p het gegeven punt, en zijn q1, q2, ..., qn de opeenvolgende hoekpunten van een (niet noodzakelijk convexe) veelhoek. Het windingsgetal van de omtrek van de veelhoek ten opzichte van het punt p is, op een factor 2π na, gelijk aan
waar we afspreken dat q0=qn. Het punt ligt binnen de veelhoek als en slechts als het windingsgetal 0 is (nonzero winding rule).
