Algorytm Cohena-Sutherlanda
Z Wikipedii
Algorytm Cohena-Sutherlanda jest analitycznym algorytmem obcinania dwuwymiarowych odcinków przez prostokąt obcinający, którego boki są równoległe do osi układu współrzędnych. Algorytm ma zastosowanie w grafice komputerowej.
[edytuj] Algorytm
Prostokąt obcinający jest wyznaczony przez cztery proste równoległe do osi: xmin, xmax, ymin, ymax.
Te proste dzielą płaszczyznę na 9 obszarów, którym przypisuje się 4-bitowe kody, każdy bit opisuje położenie punktu względem danej prostej. Przyporządkowanie bitów do prostych jest zupełnie umowne, tutaj opisano sytuację na z rysunku:
- bit nr 0 ma wartość jeden, gdy x < xmin (punkt znajduje się po lewej stronie prostokąta);
- bit nr 1 ma wartość jeden, gdy x > xmax (po prawej);
- bit nr 2 ma wartość jeden, gdy y < ymin (poniżej);
- bit nr 3 ma wartość jeden, gdy y > ymax (powyżej).
Kody są wykorzystywane do szybkiego akceptowania lub odrzucenia odcinków:
- Jeśli kody obu końców odcinka są równe 0 (suma logiczna (operacja OR) daje wynik 0000), wówczas jest on akceptowany ponieważ w całości znajduje się wewnątrz prostokąta (na rys. odcinek zielony).
- Jeśli wynikiem iloczynu logicznego (operacji AND) kodów odcinka jest liczba różna od zera (oba kody odcinków posiadają 1 na co najmniej jednym tym samym miejscu), oznacza to, że odcinek w całości znajduje się poza prostokątem (na rys. niebieskie odcinki).
(Na rys. czerwone odcinki znajdują się poza prostokątem. Suma logiczna daje wynik poprawny - różny od 0000. Jendak wynik iloczynu logicznego równa się 0000, dlatego odcinki nie zostają odrzucone (uznaje się jako nieokreślone). Po wykonaniu algorytmu dochodzimy do sytuacji, w której cały obcięty odcinek leży poza prostokątem obcinającym i algorytm kończy działanie odrzucając czerwone linie).
W pozostałych przypadkach potrzebne są dodatkowe obliczenia i algorytm przebiega następująco:
- Wybierany jest koniec odcinka leżący poza prostokątem, a więc mający niezerowy kod; jeśli kody obu końców są niezerowe to można wybrać dowolny z nich.
- Wyznaczany jest punkt przecięcia odcinka z jedną z prostych. Wybór prostych determinuje kod wybranego końca. Np. jeśli ustawiony jest bit nr 2, to znaczy, że należy znaleźć przecięcie z prostą y = ymin. Jeśli w kodzie ustawionych jest więcej bitów, to można wybrać dowolną prostą - ważne jest jedyne, aby zawsze wybierać je w takiej samej kolejności (w przykładach przyjęto, że jest to: góra, dół, lewa, prawa).
- Następnie odcinek jest przycinany do tego punktu - koniec wybrany w punkcie pierwszym jest zastępowany przez punkt przecięcia.
- Kody końców odcinka są testowane tak jak opisano wyżej. Algorytm powtarza się dopóki jeden z dwóch testów nie będzie prawdziwy, tzn. aż odcinka nie będzie można w całości zaakceptować, albo odrzucić.
Liczba iteracji potrzebnych do obcięcia odcinka może wynosić od 0 do 4.
[edytuj] Przykład
Obcinanie odcinka AB:
- wybierany jest punkt B (1);
- wyznaczane jest przecięcie z prostą y = ymax - punkt C (2);
- nowy odcinek ma końce AC i znajduje się w całości w prostokącie - w tym miejscu algorytm kończy się (3).
Obcinanie odcinka DE:
- wybierany jest punkt D (1);
- wyznaczane jest przecięcie z prostą y = ymax - punkt F (2);
- nowy odcinek ma końce EF, algorytm jest kontynuowany (3);
- wybierany jest punkt E (1);
- wyznaczane jest przecięcie z prostą y = ymin - punkt G (2);
- nowy odcinek ma końce FG, algorytm jest kontynuowany (3);
- wybierany jest punkt F (1);
- wyznaczane jest przecięcie z prostą x = xmax - punkt H (2);
- nowy odcinek ma końce GH i znajduje się w całości w prostokącie - w tym miejscu algorytm kończy się (3).
[edytuj] Przykładowy program
Przykładowy program napisany w języku Python, który losuje odcinek i obcina go algorytmem Cohena-Sutherlanda, a następnie zapisuje do pliku obrazek przedstawiający proste, prostokąt obcinający oraz odcinek wyjściowy i odcinek obcięty.
# -*- coding: iso-8859-2 -*-
def Cohen_Sutherland(xa,ya, xb,yb, x_min,x_max,y_min,y_max):
'''
Funkcja obcina odcinek algorytmem Cohena-Sutherlanda
xa,ya, xb,yb - współrzędne końców odcinka
x_min, x_max, y_min, y_max - granice prostokąta
'''
def code(x,y):
'''
Funkcja wyznacza kod 4-bitowy dla podanego punktu
'''
b0 = int(y > y_max)
b1 = int(y < y_min) << 1
b2 = int(x > x_max) << 2
b3 = int(x < x_min) << 3
return b0 | b1 | b2 | b3
def top(code): return (code & 0x01) != 0
def bottom(code): return (code & 0x02) != 0
def left(code): return (code & 0x04) != 0
def right(code): return (code & 0x08) != 0
code_a = code(xa,ya)
code_b = code(xb,yb)
while True:
# 1. Sprawdzenie, czy odcinek w całości znajduje się w
# prostokącie obcinającym - jeśli tak, zwracane są jego współrzędne.
if code_a == 0 and code_b == 0:
return ((xa,ya), (xb,yb))
# 2. Sprawdzenie, czy odcinek w całości znajduje się poza
# prostokątem obcinającym - jeśli tak jest funkcja kończy się.
if (code_a & code_b) != 0:
return None
# 3. Wybranie punktu (a właściwie kodu punktu), który
# znajduje się poza prostokątem
if code_a != 0:
code_o = code_a
else:
code_o = code_b
# 5. Obcianie:
# 5a. przez prostą y=y_max
if top(code_o):
t = (y_max-ya)/float(yb-ya)
x = xa + t*(xb-xa)
y = y_max
# 5b. przez prostą y=y_min
elif bottom(code_o):
t = (y_min-ya)/float(yb-ya)
x = xa + t*(xb-xa)
y = y_min
# 5c. przez prostą x=x_max
elif left(code_o):
x = x_max
t = (x_max-xa)/float(xb-xa)
y = ya + t*(yb-ya)
# 5d. przez prostą x=x_min
elif right(code_o):
x = x_min
t = (x_min-xa)/float(xb-xa)
y = ya + t*(yb-ya)
# 6. Odrzucenie punktu, który znajduje się poza prostokątem
# (tego, który w 3. kroku został wybrany) i zastąpienie
# go punktem przecięcia.
if code_o == code_a:
xa = x
ya = y
code_a = code(x,y)
else:
xb = x
yb = y
code_b = code(x,y)
if __name__ == '__main__':
import Image
import ImageDraw
from random import randint
rozdzielczosc = r = 500 # rozdzielczość obrazka
image = Image.new("RGB", (rozdzielczosc, rozdzielczosc))
draw = ImageDraw.Draw(image)
# Granice prostokąta obcinającego
y_min = 130
y_max = 370
x_min = 50
x_max = 450
# Współrzędne odcinka (losowe)
xa = randint(0,rozdzielczosc)
ya = randint(0,rozdzielczosc)
xb = randint(0,rozdzielczosc)
yb = randint(0,rozdzielczosc)
# Obcięcie alg. Cohena-Sutherlanda - zmienna 'obciety_odcinek' zawiera albo
# współrzędne obciętego odcinka, albo None, gdy odcinek znajdował się
# poza prostokątem obcinającym
obciety_odcinek = Cohen_Sutherland(xa,ya, xb,yb, x_min,x_max, y_min,y_max)
# Rysowanie:
draw.rectangle([0,0,r,r], fill="#fff")
# * prostych y=y_min, y=y_max, x=x_min, x=x_max
draw.line([0,y_min, r,y_min], fill="#aaa")
draw.line([0,y_max, r,y_max], fill="#aaa")
draw.line([x_min,0, x_min,r], fill="#aaa")
draw.line([x_max,0, x_max,r], fill="#aaa")
# * prostokąta obcinającego wyznaczonego przez te proste
draw.rectangle([x_min,y_min,x_max,y_max], outline="#000")
# * obcinanego odcinka
draw.line([xa,ya,xb,yb], fill="#0f0")
# * jeśli istnieje, obciętego odcinka
if obciety_odcinek:
draw.line(obciety_odcinek, fill="#f00", width=2)
# Zapisanie obrazka
image.save('Cohen_Sutherland.png', 'PNG')
