Interpolacja wielomianowa

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Interpolacja wielomianowa, nazywana też interpolacją Lagrange'a, od nazwiska pioniera badań nad interpolacją Josepha Lagrange'a, lub po prostu interpolacją jest metodą numeryczną przybliżania funkcji tzw. wielomianem Lagrange'a stopnia n, przyjmującym w n+1 punktach, zwanych węzłami interpolacji wartości takie same jak przybliżana funkcja.

Interpolacja jest często stosowana w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami.

Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa dowolną funkcję y=f(x) ciągłą na przedziale zamkniętym można dowolnie przybliżyć za pomocą wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia.

Spis treści

1 Interpolacja liniowa
2 Ogólna metoda
- 2.1 Znajdowanie odpowiedniego wielomianu
3 Dowód istnienia wielomianu interpolującego
4 Jednoznaczność interpolacji wielomianowej
5 Błąd interpolacji
6 Zobacz też

[edytuj] Interpolacja liniowa

Interpolacja liniowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: Interpolacja liniowa.

Jest przypadkiem interpolacji wielomianowej dla dwóch punktów pomiarowych $x 0$ i $x 1$ , dla których można utworzyć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty $(x 0, f (x 0)$ i $x 1$ .

[edytuj] Ogólna metoda

Przykład interpolacji wielomianowej.

Metoda interpolacji polega na:

wybraniu $n + 1$ punktów $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ należących do dziedziny $f$ , dla których znane są wartości $y_0=f(x_0),y_1=f(x_1),\cdots ,y_n=f(x_n)$

znalezieniu wielomianu $W (x)$ stopnia co najwyżej $n + 1$ takiego, że $W(x_0)=y_0,W(x_1)=y_1,\cdots W(x_n)=y_n$ .

Interpretacja geometryczna – dla danych $n + 1$ punktów na wykresie szuka się wielomianu stopnia co najwyżej $n$ , którego wykres przechodzi przez dane punkty

[edytuj] Znajdowanie odpowiedniego wielomianu

Wielomian przyjmujący zadane wartości w konretnych punktach można zbudować w ten sposób:

Dla pierwszego węzła o wartości $f (x 0)$ znajduje się wielomian, który w tym punkcie przyjmuje wartość $f (x 0)$ , a w pozostałych węzłach $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ wartość zero.
Dla kolejnego węzła znajduje sie podobny wielomian, który w drugim węźli przyjmuje wartość $f (x 1)$ , a w pozostałych węzłach $x_0,x_2,\cdots ,x_n$ wartość zero.
Dodaje się wartość ostatnio obliczonego wielomianu do wartości poprzedniego
Dla każdego z pozostałych węzłów znajduje się podobny wielomian, za każdym razem dodając go do wielomianu wynikowego
Wielomian będący sumą wielomianów obliczonych dla poszczególnych węzłów jest wielomianem interpolującym

Dowód ostatniego punktu i dokładny sposób tworzenia poszczególnych wielomianów opisany jest poniżej w dowodzie istnienia wielomianu interpolującego będącego podstawą algorytmu odnajdowania tego wielomianu.

[edytuj] Dowód istnienia wielomianu interpolującego

Niech $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ będą węzłami interpolacji funkcji $\! f$ takimi, że znane są wartości $\! f(x_0)=y_0,f(x_1)=y_1,\cdots ,f(x_n)=y_n$

Można zdefiniować funkcję:

$L_i(x)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\ \ \ \ \$ , $i\in {0,1\cdots ,n}$

taką, że dla $x\notin \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ $L i (x)$ jest wielomianem stopnia $n$ (mianownik jest liczbą, a licznik iloczynem $n$ wyrazów postaci $(x-x_{j\ })$ )

Gdy $x_k\in \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ i $k\not=i$ :

$L_i(x_i)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n (\frac{x_i-x_j}{x_i-x_j})=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n (1) = 1$

Gdy $x_k\in \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ i $k = i$ :

$L_i(x_k)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n \frac{x_k-x_j}{x_i-x_j}\ =\frac{(x_k-x_0)\cdot (x_k-x_1)\cdot \cdots \cdot (x_k-x_{k })\cdot \cdots (x_k-x_n) }{(x_i-x_0)\cdot (x_i-x_1)\cdot \cdots \cdot (x_i-x_{i-1 })\cdot (x_i-x_{i+1 })\cdot \cdots (x_i-x_n) }\ =\ 0\ \$

Niech $\! W(x)$ będzie wielomianem stopnia co najwyżej $n$ , określonym jako:

$\! W(x)=y_0\cdot L_0(x) + y_1\cdot L_1(x) + y_2\cdot L_2(x) + \cdots + y_n\cdot L_n(x)$

Dla $\! x_i \in \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$

$W(x_i)= y_0\cdot L_0(x_i) + y_1\cdot L_1(x_i) + \cdots + y_i\cdot L_i(x_i) + \cdots + y_n\cdot L_n(x_i)$ .

Wszystkie składniki sumy o indeksach różnych od $i$ są równe zeru (ponieważ dla $j\not=i\ \ L_i(x_j)\ =\ 0)$ , składnik o indeksie $i$ jest równy:

$L_i(x_i)\cdot y_i\ =\ 1\cdot y_i\ =\ y_i$ .

A więc

$\! W(x_i)=y_i$

z czego wynika, że $\! W(x)$ jest wielomianem interpolującym funkcję $\! f(x)$ w punktach $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ .

[edytuj] Jednoznaczność interpolacji wielomianowej

Dowód

Załóżmy, że istnieją dwa wielomiany $W 1 (x)$ i $W 2 (x)$ stopnia $n$ , przyjmujące w węzłach $\! x_0,x_1,\cdots ,x_n$ takie same wartości.

Niech

$\! W_3(x) = W_1(x) - W_2(x)$

będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej $n$ (co wynika z własności odejmowania wielomianów).

Ponieważ $W 1 (x)$ i $W 2 (x)$ w węzłach $x_i : i \in 0,1,\cdots ,n$ interpolują tą samą funckję, to $W 1 (x i) = W 2 (x i)$ , a więc $W 3 (x i) = 0$ (węzły interpolacji są pierwiastkami $W 3 (x)$ ).(*)

Ale każdy niezerowy wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że $\! W_3(x)$ ma $n + 1$ pierwiastków, to $W 3 (x)$ musi być wielomian tożsamościowo równy zeru. A ponieważ

$\! W_3(x)\ =\ W_1(x) - W_2(x)\ =\ 0$

$\! W_1(x)\ =\ W_2(x)$

co jest sprzeczne z założeniem, że $W 1 (x)$ i $W 2 (x)$ są różne.

[edytuj] Błąd interpolacji

Dość naturalnym wydawało by się zwiększanie ilości węzłów (równoważnie stopnia wielomianu interpolacyjnego) w celu coraz lepszego przybliżenia funkcji f(x) wielomianem $L n (x)$ . "Wymarzona" byłaby zależność:

$\! \lim_{n \to \infty}L_n(x) = f(x)$ ,

tj. dla coraz większej liczby węzłów wielomian interpolacyjny staje się "coraz bardziej podobny" do interpolowanej funkcji.

Dla węzłów równoodległych tak być nie musi.

Można dowieść, że dla każdego wielomianu interpolacyjnego w stopnia $n$ , przybliżającego funcję $f (x)$ w przedziale $[a, b]$ na podstawie $n + 1$ węzłów, istnieje taka liczb $\! \xi$ zależna od $x$ , że dla reszty interpolacji $\! r(x)$

$\! \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot p_n(x)\le r(x)$

gdzie $p_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$ , a $\xi \in [a;b]$ jest liczbą zależną od x.

Do oszacowania z góry wartości $r (x)$ można posłużyć się wielomianami Czebyszewa stopnia $n + 1$ do oszacowania wartości $p n (x)$ dla $x\in [-1,1]$ . Dla przedziału $[a, b]$ wystarczy dokonać przeskalowania wielomianu $p n (x)$