Regula falsi

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) — algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.

Pierwsze dwie iteracje metody regula falsi. Czerwona krzywa pokazuje funkcje f, niebieskie linie są cięciwami.

Na funkcję $y = f (x)$ nakładane są następujące ograniczenia:

Jest ciągła w przedziale $[a, b]$ .
W przedziale znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: $f (a) f (b) < 0$ .
Pierwsza i druga pochodna mają na tym przedziale stałe znaki.

Algorytm przebiega następująco:

Na początku przez punkty $A = (a, f (a))$ i $B = (b, f (b))$ przeprowadzana jest cięciwa.
Punkt przecięcia $x 1$ z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty $(x 1, f (x 1))$ oraz $A$ lub $B$ – wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do $f (x 1)$ . Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 4 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX ( $x i$ ) i algorytm powtarza się.

Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula¹ znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy — metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako "fałszywa linia prosta" jak i "fałszywa reguła" i odbydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.

[edytuj] Wzory

$x_{1}=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}$

$x_{i+1}=\left\{\begin{matrix} \frac{x_i f(a) - a f(x_i)}{f(a) - f(x_i)} & gdy &f(a)f(x_i)\le 0 \\ \\ \frac{x_i f(b) - b f(x_i)}{f(b) - f(x_i)} & gdy&f(b)f(x_i)<0 \end{matrix}\right.$