Zbieżność monotoniczna
Z Wikipedii
Zbieżność monotoniczna – własność ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji rzeczywistych.
Spis treści |
[edytuj] Ciągi liczbowe
Mówimy, że ciąg liczb rzeczywistych 
jest monotonicznie zbieżny do liczby a jeśli jest ciągiem monotonicznym zbieżnym do liczby a.
Warto przypomnieć, że ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy jest ograniczony. Zatem ciągi monotonicznie zbieżne to dokładnie ograniczone ciągi monotoniczne.
[edytuj] Ciągi funkcyjne
[edytuj] Definicja
Niech X będzie dowolnym zbiorem oraz 
. Powiemy , że ciąg 
jest zbieżny monotonicznie do funkcji f jeśli
- (a)
lub 
oraz - (b) jest zbieżny punktowo do funkcji f (tzn dla każdego
mamy, że 
).
Należy podkreślić, że założenie (a) powyżej wymaga więcej niż stwierdzenie, że ciąg 
jest monotoniczny dla każdego . W naszej definicji wymagamy, że albo ciąg jest zawsze niemalejący albo też ten ciąg jest zawsze nierosnący.
[edytuj] Przykładowe użycie
- Jeśli
![f_n,f:[0,1]\longrightarrow {\mathbb R}](../../../math/2/1/a/21ac7bff6d089d987d1f415c08ddf3c1.png)
są ciągłe, ciąg jest zbieżny monotonicznie do funkcji f, to zbiega jednostajnie do f. (Twierdzenie Diniego.) - Twierdzenie Lebesgue'a: jeśli
![f_n:[0,1]\longrightarrow [0,\infty)](../../../math/1/a/7/1a7056fb1974636decd6467e34e6322d.png)
są całkowalne w sensie Lebesgue'a i ciąg jest zbieżny monotonicznie do funkcji f, to f jest mierzalna oraz ![\int\limits_{[0,1]} f=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int\limits_{[0,1]} f_n](../../../math/6/9/1/691723513845a846584d9f5ac85675ea.png)
.
