Desigualdade de Hölder

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Em matemática, sobretudo no estudo dos espaços funcionais, a desigualdade de Hölder é uma desigualdade fundamental no estudo dos espaços L^p.

Índice

1 Desigualdade para somatórios finitos
2 Desigualdade para séries
3 Desigualdade para integrais
- 3.1 Demonstração
4 Espaços Lp
5 Ver também

[editar] Desigualdade para somatórios finitos

Sejam $1<p,q<\infty \,$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,$

Sejam $a_n\,$ e $b_n\,$ seqüências se números reais ou complexos Então:

$\left|\sum_{n=1}^{N}a_n b_n\right| \leq \left(\sum_{n=1}^{N}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{N}|b_n|^q\right)^{\frac{1}{q}}$

[editar] Desigualdade para séries

Sejam $1<p,q<\infty \,$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,$

E ainda, $a_n\in \ell^p\,$ e $b_n\in \ell^q\,$ (veja espaço lp), vale:

$\left|\sum_{n=1}^{\infty}a_n b_n\right| \leq \sup_N \sum_{n=1}^N|a_n b_n| \leq \sup_{N}\left(\sum_{n=1}^{N}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{N}|b_n|^q\right)^{\frac{1}{q}}\leq \left(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^{\infty}|b_n|^q\right)^{\frac{1}{q}}$

[editar] Desigualdade para integrais

Sejam $1<p,q<\infty \,$ conjugados de Lebesgue, ou seja:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\,$

Sejam $f:D\to\mathbb{R}\,$ e $g:D\to\mathbb{R}\,$ funções $f\in L^p\,$ , $g\in L^q\,$ e $V\subseteq D\,$ , então:

$\left|\int_V f(x)g(x)dx \right| \leq \left(\int_V |f(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_V |g(x)|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}$

Observe que a desigualdade implica $fg\in L^1(V)$

[editar] Demonstração

A desigualdade é trivialmente válida alguma das integrais à direita for nula.

Podemos então supor que cada uma das integrais à direito é finita e não-nula, defina ainda:

$\tilde{f}(x)=\frac{f(x)}{\left(\int_V |f(x)|^pdx\right)^{\frac{1}{p}}}\,$
$\tilde{g}(x)=\frac{g(x)}{\left(\int_V |g(x)|^qdx\right)^{\frac{1}{q}}}\,$

Então estimemos pela desigualdade triangular:

$\left|\int_V f(x)g(x)dx \right| \leq \int_V \left|f(x)g(x) \right|dx = \left(\int_V |f(x)|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_V |g(x)|^q\right)^{\frac{1}{q}} \int_V \left|\tilde{f}(x)\tilde{g}(x) \right|dx$