Limite superior e limite inferior

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Uma ilustração dos limites superior e inferior. A seqüência x_n é mostrada em azul.

Em matemática, sobretudo na análise, o conceito de limite assume fundamental importância. Nem toda seqüência real, no entanto, possui um limite bem definido. O limite superior e o limite inferior, não obstante, estão sempre bem definidos.

Quando uma seqüência é convergente, o limite, o limite inferior e o limite superior coincidem. Reciprocamente, uma seqüência possui limite quando o limite inferior coincide com o limite superior.

Também se definem limite superior e limite inferior para seqüências de conjuntos.

[editar] Notação e definição

Considere uma seqüência $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ de números reais qualquer. Defina a seqüência auxiliar:

$A_N=\sup_{n\geq N}a_n\,$

A seqüência $A_n\,$ é claramente não-crescente, pois é supremo de uma família cada vez menor de números reais. Por ser uma seqüência monótona, seu limite existe (podendo ser infinito se cada $A_N\,$ for infinito) e o ínfimo da seqüência.

O limite superior de $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ é então definido o o limite da seqüência $A_N\,$ . Denota-se:

$\limsup_{n\to \infty} a_n = \overline{\lim_{n\to\infty}}a_n = \inf_{n=1}^{\infty} \sup_{n\geq N}a_n = \lim_{N\to\infty} \sup_{n\geq N}a_n\,$

E, de forma perfeitamente análoga, se define o limite inferior:

$\liminf_{n\to \infty} a_n = \underline{\lim_{n\to\infty}}a_n = \sup_{n=1}^{\infty}\inf_{n\geq N}a_n = \lim_{N\to\infty} \inf_{n\geq N}a_n\,$

[editar] Propriedades

Sejam $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ e $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}\,$ seqüências de números reais, então valem as afirmações:

$\liminf_{n\to\infty}a_n\leq \limsup_{n\to\infty}a_n\,$
$\liminf_{n\to\infty}-a_n= -\limsup_{n\to\infty}a_n\,$

$\limsup_{n\to\infty}\left(a_n+b_n \right)\leq \limsup_{n\to\infty}a_n +\limsup_{n\to\infty} b_n \,$
$\liminf_{n\to\infty}\left(a_n+b_n \right)\geq \liminf_{n\to\infty}a_n +\liminf_{n\to\infty} b_n \,$

[editar] Limite superior e inferior de uma seqüência de conjuntos

Em algumas situações, sobretudo na teoria da medida, é conveniente definir os conceitos de limite superior e inferior para uma seqüência de conjuntos.

Se $E_n\,$ é uma seqüência de conjuntos, então define-se:

O limite superior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a uma infinidade de conjuntos $E_n\,$ .
O limite inferior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um dos $E_n\,$ exceto por úm número finito deles.

Pode-se monstrar que estas definições coincidem com as seguintes:

$\limsup_{n\to\infty} E_n =\overline{\lim_{n\to\infty}}E_n = \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}E_k\,$
$\liminf_{n\to\infty} E_n =\underline{\lim_{n\to\infty}}E_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}E_k\,$