Teorema do trabalho-energia

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O teorema do trabalho-energia é um teorema da mecânica clássica, segundo o qual, o trabalho mecânico, $W$ , realizado sobre um corpo de massa, $M$ , por uma força é igual a variação da energia cinética do corpo:

$W = Δ K$

onde, $Δ K$ é diferença entre a energia cinética final, $K f$ , e a energia cinética inicial, $K i$ , do corpo, $Δ K = K f - K i$ .

Este teorema também é chamado de Teorema da Energia Cinética (TEC).

[editar] Demonstração: Caso Particular, Força Constante

Esta demonstração do teorema trabalho-energia é uma das mais bonitas da mecânica clássica. Para demonstrá-lo, partimos das definições de velocidade e aceleração e usamos a segunda lei de Newton para, por fim, usar as definições de trabalho e energia cinética.

A demonstração assume que o corpo está em movimento retilínio uniformemente variado (MRUV), ou seja, que sua aceleração linear é constante. Do ponto de vista da dinâmica, isto equivale a dizer que a força que realiza trabalho sobre o corpo também é constante. Para facilitar a demonstração, vamos representar as grandezas vetoriais deslocamento, velocidade, aceleraçao e força na suas formas escalares. Isto é possível com uma escolha adequada de um referencial inercial, por exemplo: se alinharmos o eixo-x do referencial à direção do movimento do corpo. A demonstração também assume que o corpo se comporta como uma partícula e, por conveniência, vamos assumir que o instante inicial do movimento, $t i$ , é zero, $t i = 0$ , e que o instante final, é $t f = t$ .

Definição de velocidade linear, $v$ :

$v \equiv \frac{dx}{dt}$

onde, $x = x (t)$ é a posição do corpo em função do tempo, $t$ .

Partindo da definição de aceleração linear, $a$ ,

$a \equiv \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$ ,

temos que

$dv = a \,dt$ ,

com $a = c o n s t a n t e$ . Integrando ambos os lados da equação:

$\int dv = \int a\,dt$

$v_f - v_i = a\, (t-0)$

$v_f - v_i = a\, t$

Esta é uma das equações cinemáticas do MRUV. Isolando o tempo:

$t = \frac{v_f - v_i}{a}$

Uma segunda equação cinemática é obtida resolvendo a equação diferencial,

$a = \frac{d^2x}{dt^2}$ :

$x_f = x_i + v_i t + \frac{1}{2} a t^2$

Aplicando Baskhara para resolver a equação de segundo grau acima, temos:

$t = \frac{-v_i \pm \sqrt{v_i^2 - 4 \,\frac{1}{2}\, a (x_i-x_f)}}{2\, \frac{1}{2}\, a}$

$t = \frac{-v_i \pm \sqrt{v_i^2 - 2\, a (x_i-x_f)}}{a}$

Igualando a equação acima com aquela obtida no passo anterior,

$\frac{v_f - v_i}{a} = \frac{-v_i \pm \sqrt{v_i^2 - 2\, a (x_i-x_f)}}{a}$

$v_f - v_i = -v_i \pm \sqrt{v_i^2 + 2\, a (x_f-x_i)}$

$v_f = \pm \sqrt{v_i^2 + 2\, a (x_f-x_i)}$

Elevando ambos os lados da equação acima ao quadrado:

$v_f^2 = v_i^2 + 2\, a (x_f-x_i)$

$v_f^2 - v_i^2 = 2\, a (x_f-x_i)$

$\frac{v_f^2 - v_i^2}{2} = a\, (x_f-x_i)$

Escrevendo o deslocamento $x f - x i$ como $Δ x = (x f - x i)$

$\frac{v_f^2 - v_i^2}{2} = a\, \Delta x$

Introduzindo conceitos da dinâmica.

 Até aqui, ustilizamos apenas conceitos cinemáticos, como deslocamento, velocidade, aceleração e tempo. 
 A partir deste passo, vamos introduzir conceitos da dinâmica: massa, força, trabalho e energia cinética. 
 Multiplicando todos os termos da equação acima pela massa,  $m$ , do corpo:

$\frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = m\, a\, \Delta x$

Pela segunda lei de Newton, $F=m\,a$ , donde

$\frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = F \, \Delta x$

Mas, $F Δ x$ é o trabalho mecânico, $W$ ,

realizado pela força constante, $F$ , sobre a massa $m$ para deslocá-la por $Δ x$ :

$W=F\,\Delta x$

logo,

$\frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 = W$

Neste ponto, introduzimos a definição de energia cinética,

$K$ , como sendo a metadad do produto da massa pela velocidade quadrática de uma partícula,

$K \equiv \frac{1}{2} m \, v^2$

temos que

$K f - K i = W$

Fazendo $\Delta K \equiv K_f - K_i$ , temos finalmente

$W = Δ K$

conforme enunciado pelo teorema trabalho-energia.

[editar] Demonstração: Caso Geral, Força Variável

Agora vamos considerar o caso mais geral, em que a força $F$ que atua sobre o corpo não é constante, podendo variar sua direção, sentido e intensidade ao longo do tempo, $\vec{F}=\vec{F}(t)$ . Neste caso, partimos da definição de trabalho,