Teste da Comparação
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O teste da comparação estabelece um critério para convergência de séries positivas, ou para a convergência absoluta.
Sejam as séries:
Então se 
e se a segunda série converge a primeira também converge ( e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge a segunda também deve divergir.
Podemos também estabelecer que se 
, então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.
[editar] Demonstação
Observe cuidadosamente que a segunda afirmação implica a primeira. Demonstremos a primeira:
Suponha que 
seja convergente. Ou seja, as somas parciais formam uma seqüência convergente:
é uma seqüência convergente e portanto de Cauchy.
Denote:
Queremos mostrar que 
é uma sucessão de Cauchy. Para tal estime:
Use a desigualdade triangular:
Sendo 
uma sucessão de Cauchy, também o é.
[editar] Exemplos
Seja a série fatorial que define o número de Euler: 
Denote por Sn e Rn as somas parciais e o resíduo de ordem N:
Vamos mostrar que a série convege e ainda extrairemos uma estimativa para o erro:
Como 
Assim comparamos:
Usanda a soma da série geométrica, temos:
