Variância

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Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado.

A variância de uma variável aleatória real é o seu segundo momento central e também o seu segundo cumulante (os cumulantes só diferem dos momentos centrais a partir do 4º grau, inclusive).

Índice

1 Definição
2 Propriedades
3 Variância da população e variância da amostra
4 Generalizações
5 História do conceito
6 Ver Também

[editar] Definição

Se μ = E(X) é o valor esperado (média) da variável aleatória X, então a variância é

$\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}((X-\mu)^2).$

Isto é, é o valor esperado do quadrado do desvio de X da sua própria média. Em linguagem comum isto pode ser expresso como "A média do quadrado da distância de cada ponto até à média". É assim a "média do quadrado dos desvios". A variância da variável aleatória "X" é geralmente designada por $\operatorname{var}(X)$ , $\sigma_X^2$ , ou simplesmente $σ 2$ .

Notar que a definição acima pode ser usada quer para variáveis aleatórias discretas, quer para contínuas.

Muitas distribuições, tais como a distribuição Cauchy, não têm variância porque o integral relevante diverge. Em particular, se uma distribuição não tem valores esperados, ela também não tem variância. O contrário não é verdadeiro: há distribuições para as quais existe valor esperado mas não existe variância.

[editar] Propriedades

Se a variância é definida, podemos concluir que ela nunca é negativa, porque os quadrados são sempre positivos ou nulos. A unidade de variância é o quadrado da unidade de observação. Por exemplo, a variância de um conjunto de alturas medidas em centimetros será dada em centimetros quadrados. Este facto é inconveniente e levou muitos estatísticos a usar a raiz quadrada da variância, conhecida como o desvio padrão, como um sumário da dispersão.

Pode ser provado facilmente a partir da definição que a variância não depende do valor médio $μ$ . Isto é, se a variável é "deslocada" por uma quantidade b ao tomarmos X+b, a variância da variável aleatória resultante permanece inalterada. Por contraste, se a variável for multiplicada por um factor de escala a, a variância é então multiplicada por a². Mais formalmente, se a e b forem constantes reais e X uma variável aleatória cuja variância está definida, então:

$\operatorname{var}(aX+b)=a^2\operatorname{var}(X)$

Outra fórmula para a variância que se deduz de forma simples a partir da definição acima é:

$\operatorname{var}(X)=\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2.$

Na prática usa-se muito frequentemente esta fórmula para calcular mais rapidamente a variância.

Uma razão para o uso da variância em preferência a outras medidas de dispersão é que a variância da soma (ou diferença) de variáveis aleatórias independentes é a soma das suas variâncias. Uma condição não tão estricta, chamada de incorrelação (uncorrelatedness) também é suficiente. Em geral,

$\operatorname{var}(X+Y) =\operatorname{var}(X) + \operatorname{var}(Y) + 2 \operatorname{cov}(X, Y).$

Aqui $\operatorname{cov}$ é a covariância, a qual é zero para variáveis aleatórias não correlacionadas.

[editar] Variância da população e variância da amostra

Em estatística, o conceito de variância também pode ser usado para descrever um conjunto de observações. Quando o conjunto das observações é uma população, é chamada de variância da população. Se o conjunto das observações é (apenas) uma amostra estatística, chamamos-lhe de variância amostral (ou variância da amostra).

A variância da população de uma população y_i onde i = 1, 2, ...., N é dada por

$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \left( y_i - \mu \right) ^ 2,$

onde $μ$ é a média da população. Na prática, quando lidando com grandes populações, é quase sempre impossível achar o valor exacto da variância da população, devido ao tempo, custo e outras restrições aos recursos.

Um método comum de estimar a variância da população é através da tomada de amostras. Quando estimando a variância da população usando n amostras aleatórias x_i onde i = 1, 2, ..., n, a fórmula seguinte é um estimador não enviesado:

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2,$

onde $\overline{x}$ é a média da amostra.

Notar que o denominador n-1 acima contrasta com a equação para a variância da população. Uma fonte de confusão comum é que o termo variância da amostra e a notação s² pode referir-se quer ao estimador não enviesado da variância da população acima como também àquilo que é em termos estrictos, a variância da amostra, calculada usando n em vez de n-1.

Intuitivamente, o cálculo da variância pela divisão por n em vez de n-1 dá uma sub-estimativa da variância da população. Isto porque usamos a média da amostra $\overline{x}$ como uma estimativa da média da população $μ$ , o que não conhecemos. Na prática, porém, para grandes n, esta distinção é geralmente muito pequena.

[editar] Generalizações

Se X é uma variável aleatória vectorial, com valores em Rⁿ, e considerado como um vector coluna, então a generalização natural da variância é E[(X − μ)(X − μ)^T], onde μ = E(X) e X^T é a transposta de X, e logo um vector-linha. A variância é uma matriz quadrada não-negativa definida, referida geralmente como a matriz covariância.

Se X é uma variável aleatória de valores complexos, então a sua variância é E[(X − μ)(X − μ)^*], onde X^* é o conjugado complexo de X. Esta variância, assim como no caso real, é uma matriz quadrada não-negativa definida, cuja diagonal são números reais não-negativos.

[editar] História do conceito

O termo variância foi introduzido por Ronald Fisher num ensaio de 1918 intitulado de The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.

O conceito de variância é análogo ao conceito de momento de inércia em mecânica clássica.